Norme matricielle

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En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices.

Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes.

Définition[modifier | modifier le code]

Certains auteurs[1] définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel Mm,n(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K.

Pour d'autres[2], une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre Mn(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • L'espace Mn(K), muni d'une norme sous-multiplicative (comme la norme d'opérateur), est un exemple d'algèbre de Banach.
  • Pour toute norme N sur Mn(K), l'application bilinéaire (A, B) ↦ AB étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante k > 0 telle que \forall A,B\in M_n(K),\  N(AB)\le kN(A)N(B).Par suite, la norme kN est sous-multiplicative. Toute norme sur Mn(K) est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, Méthodes Numériques: Algorithmes, analyse et applications, Springer,‎ 2007 (ISBN 978-8-84700495-5, lire en ligne), p. 22
  2. M. Ghil et J. Roux, Mathématiques Appliquées aux sciences de la Vie et de la Planète : Cours et exercices corrigés, Dunod,‎ 2010 (ISBN 978-2-10056033-2, lire en ligne), p. 50