Onde de Stokes
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Les ondes de Stokes sont des ondes de gravité rencontrées sur la surface de la mer, des vagues. Elles ont des solutions des équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel à surface libre soumis à un champ de gravité qui ont été obtenues par George Gabriel Stokes par la théorie des perturbations en 1847[1],[2] dans le cas d'un milieu de profondeur infinie.
Ondes de gravité
Équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel soumis à un champ de gravité
Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ. Les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent
où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude.
Milieu à surface libre
Dans le cadre d'un problème bidimensionnel, on désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.
L'équation ci-dessus s'écrit à la surface
où p0 est la pression atmosphérique.
Cette surface est décrite par l'équation cinématique
Par ailleurs la condition cinématique au fond z = - h(x) s'écrira
Dans le cas particulier d'un fond plat utilisé par la suite on a
Solutions périodiques
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On cherche une solution au système constitué par les équations [1], [2], [3], [4] sous forme d'ondes périodiques progressives
où θ est la phase de l'onde, k le nombre d'onde et c la vitesse de phase.
Pour s, on utilise un développement en série de Fourier autour de la solution de repos (s = 0)
où a est l'amplitude.
Il lui correspond le développement suivant pour ψ[4], suggéré par la solution du problème linéarisé[5]
Pour ω, on choisit une forme paire de l'amplitude compatible avec la périodicité en s (ψ n'est pas nécessairement périodique)
La solution du système limité au second ordre conduit aux résultats suivants[4]
- relation de dispersion
- coefficients du développement pour s
- μ2 est le rapport des amplitudes des deux premières composantes de l'onde.
- coefficients du développement pour ψ
- Vitesse de phase
Propriétés des solutions
On a en particulier
- en eau profonde (k h0 → ∞
- L'approche est valide pour des hauteurs de vague de faible amplitude devant la longueur d'onde
- où λ = 2π/k la longueur d'onde.
- en eau peu profonde k h0 → 0
- où U le nombre d'Ursell.
- Pour une eau peu profonde l'approche est utilisable lorsque
Autres propriétés
- Il existe des solutions pour un développement jusqu'à l'ordre 5[6].
- L'approche peut être utilisée pour des ondes stationnaires[7] ou aléatoires[8],[9].
- Tullio Levi-Civita a démontré la convergence des développements utilisés pour des ondes de faible amplitude et un milieu de profondeur infinie[10]. Ce résultat a été étendu aux milieux à profondeur finie par Dirk Jan Struik[11].
- Thomas Brooke Benjamin et Jim E. Feir on montré l'instabilité de la solution pour les fortes profondeurs[12]. L'instabilité de Benjamin-Feir peut conduire à la formation d'une vague scélérate[13].
Références
- (en) G. G. Stokes, « On the Theory of Oscillatory Waves », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 8, , p. 441–455 (lire en ligne)
- (en) G. G. Stokes, « Supplement to a paper on the theory of oscillatory waves », Cambridge University Press, , p. 314-326 (lire en ligne)
- (en) Lev Davidovitch Landau et Evgueni Mikhaïlovitch Lifshitz, Volume 6 of Course of Theoretical Physics : Fluid Mechanics, Pergamon Press, 1987 [1]
- (en) Gerald B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, (ISBN 978-0-4713-5942-5, lire en ligne)
- Michel Talon, « Ondes de surface », sur LPTHE Université Paris VI,
- (en) S. C. De, « Contributions to the Theory of Stokes Waves », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 51, no 4, , p. 713–736
- (en) M. A. Grant, « Standing Stokes Waves of Maximum Height », Journal of Fluid Mechanics, vol. 60, no 3, , p. 593–604
- (en) Michel K. Ochi, « Hurricane-Generated Seas », Elsevier, , p. 119 (ISBN 9780080443126)
- (en) M. A. Tayfun, « Narrow-band Nonlinear Sea Waves », Journal of Geophysical Research, vol. 85, no C3, , p. 1548–1552
- Tullio Levi-Civita, « Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie », Mathematische Annalen, vol. 93, , p. 264–314 (lire en ligne)
- Dirk Jan Struik, « Détermination rigoureuse des ondes irrotationelles périodiques dans un canal à profondeur finie », Mathematische Annalen, vol. 95, no 1, , p. 595–634 (lire en ligne)
- (en) Thomas Brooke Benjamin et Jim E. Feir, « The Disintegration of Wave Trains on Deep Water. Part 1. Theory », Journal of Fluid Mechanics, vol. 27, no 3, , p. 417-430 (lire en ligne)
- (en) Kristian Dysthe, Harald E. Krogstad et Peter Müller, « Oceanic Rogue Waves », Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 40, , p. 287-310
- (en) Graham W. Griffiths et William E. Schiesser, « Linear and Nonlinear Waves », sur Scholarpedia
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stokes wave » (voir la liste des auteurs).