Équation de Korteweg et de Vries

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En mathématiques, l'équation de Korteweg et de Vries (KdV en abrégé) est un modèle mathématique pour les vagues en faible profondeur. C'est un exemple très connu d'équation aux dérivées partielles non linéaire dont on connait exactement les solutions. Ces solutions comprennent (mais ne se limitent pas à) des solitons. Ces solutions peuvent se calculer par la transformation de diffusion inverse (même principe que la résolution de l'équation de la chaleur).

L'équation porte le nom de Diederik Korteweg et Gustav de Vries (en) qui l'ont étudiée[1], bien que l'équation ait été traitée par Joseph Boussinesq auparavant[2].

Définition[modifier | modifier le code]

C'est une équation aux dérivées partielles non linéaire et dispersive pour une fonction φ de deux variables réelles, x et t :

\partial_t\phi+\partial^3_x\phi+6\phi\partial_x\phi=0

où ∂x et ∂t représentent les dérivées partielles par rapport à x et t.

Application[modifier | modifier le code]

Une vague scélérate est une vague océanique très haute, modélisable comme solution particulière d’équations non linéaires, telles que l’équation de l’onde de Boussinesq ou l’équation de Korteweg et de Vries.

Variantes[modifier | modifier le code]

Il existe de nombreuses variantes à l'équation d'onde KdV. En particulier, on peut lister les équations suivantes.

Nom Équation
Korteweg–de Vries (KdV) \displaystyle \partial_t\phi + \partial^3_x \phi + 6\, \phi\, \partial_x\phi=0
KdV (cylindrique) \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u - 6\, u\, \partial_x u +  u/2t = 0
KdV (déformée) \displaystyle \partial_t u + \partial_x (\partial_x^2 u - 2\, \eta\, u^3 - 3\, u\, (\partial_x u)^2/2(\eta+u^2)) = 0
KdV (généralisée) \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u = \partial_x^5 u
Équation de Korteweg-de Vries généralisée (en) \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u + \partial_x f(u) = 0
Équation de Korteweg-de Vries (7ème ordre de Lax) 
\begin{align}
  \partial_{t}u +\partial_{x} & \left\{35u^{4}+70\left(u^{2}\partial_{x}^{2}u+u\left(\partial_{x}u\right)^{2}\right)\right. \\
 & \left. \quad+7\left[2u\partial_{x}^{4}u+3\left(\partial_{x}^{2}u\right)^{2}+4\partial_{x}\partial_{x}^{3}u\right]+\partial_{x}^{6}u\right\}=0
\end{align}
Équation modifiée de Korteweg-de Vries \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u \pm 6\, u^2\, \partial_x u  = 0
KdV (modifiée modifiée) \displaystyle  \partial_t u +  \partial_x^3 u - (\partial_x u)^3/8 + (\partial_x u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au}) = 0
KdV (spherique) \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u - 6\, u\, \partial_x u + u/t = 0
Super équation de Korteweg-de Vries \displaystyle \partial_t u = 6\, u\, \partial_x u - \partial_x^3 u + 3\, w\, \partial_x^2 w,

\displaystyle \partial_t w = 3\, (\partial_x u)\, w + 6\, u\, \partial_x w - 4\, \partial_x^3 w

KdV (de transition) \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u - 6\, f(t)\, u\, \partial_x u  = 0
KdV (à coefficients variables) \displaystyle \partial_t u + \beta\, t^n\, \partial_x^3 u + \alpha\, t^nu\, \partial_x u=  0
Équation de Korteweg-de Vries-Burgers \displaystyle \partial_t u + \mu\, \partial_x^3 u + 2\, u\, \partial_x u -\nu\, \partial_x^2 u = 0

Références[modifier | modifier le code]

  1. D. J. Korteweg et G. de Vries, « On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves », Philosophical Magazine, vol. 39,‎ 1895, p. 422–443
  2. J. Boussinesq, « Essai sur la theorie des eaux courantes », Memoires présentés par divers savants à l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII,‎ 1877, p. 1–680