Nombre métallique

En mathématiques, les nombres métalliques (ou constantes métalliques) forment une suite de nombres réels généralisant le nombre d'or. Il a été proposé deux généralisations possibles.

Introduction pour la première généralisation

Le nombre d'or permettant d'exprimer le terme général des suites $(u_{n})$ vérifiant la récurrence linéaire définissant la suite de Fibonacci $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$, il a été proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer, pour un nombre entier p, le terme général des suites $(u_{n,p})$ vérifiant la récurrence linéaire :

$u_{n+2,p}=pu_{n+1,p}+u_{n,p}.$

Par définition, le p-ième nombre métallique, noté $\varphi _{p}$, est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : $x^{2}=px+1$.

Si une telle suite tend vers l'infini, $\varphi _{p}$ est la limite du rapport $u_{n+1}/u_{n}$ .

Pour p = 2, le métal proposé a été l'argent, puis le bronze pour le nombre suivant.

Diverses expressions

• En tant que solution positive de l'équation du second degré $x^{2}=px+1$, on obtient l'expression analytique du nombre métallique d'indice p :

$\varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme

$x=p+{1 \over x}$

on en déduit son développement en fraction continue :

$\varphi _{p}=p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+\ddots \,}}}}}}}}=[p;p,\dots ]$.

• En réécrivant l'équation sous la forme $x={\sqrt {1+px}}$

on en déduit sa forme en radical imbriqué infini :

$\varphi _{p}={\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}$.

• Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :

  $\varphi _{p}=\int _{0}^{p}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{p+2} \over {2p}}\right)}\,\mathrm {d} x.$

Rectangles métalliques

Les rectangles d'or, d'argent, et de bronze.

Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.

On obtient en effet la relation ${\frac {l}{L-pl}}={L \over l}$ qui donne $x^{2}=px+1$ si on pose $x=L/l$.

Premières valeurs

p	Expression	Écriture décimale	Métal associé	Suite récurrente associée
1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
2	1 + √2	2,414213562	Argent	suite de Pell
3	3 + √13/2	3,302775638	Bronze	suite A006190 de l'OEIS
4	2 + √5	4,236067978		suite A001076 de l'OEIS
5	5 + √29/2	5,192582404		suite A052918 de l'OEIS
6	3 + √10	6,162277660		suite A005668 de l'OEIS
7	7 + √53/2	7,140054945
8	4 + √17	8,123105626
9	9 + √85/2	9,109772229
⋮
p	p + √4 + p2/2

Expressions trigonométriques

Numéro du nombre métallique	1	2	3	4
Formule trigonométrique	$2\cos {\frac {\pi }{5}}$	$\tan {\frac {3\pi }{8}}$	$2\cos {\frac {\pi }{13}}\left({\frac {\sin {\frac {2\pi }{13}}}{\cos {\frac {3\pi }{13}}}}+1\right)$	$8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}$
Polygone régulier associé	Pentagone	Octogone	Tridécagone	29-gone

Propriétés des puissances entières

Puissances entières

De même que les puissances successives du nombre d'or vérifient $\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}$ où $(F_{n})$ est la suite de Fibonacci, les puissances des nombres métalliques vérifient :

$\varphi _{p}^{n}=G_{n}\varphi _{p}+G_{n-1}\,\,(1)$

où la suite $(G_{n})$, définie par $G_{0}=0,G_{1}=1,G_{n+2}=pG_{n+1}+G_{n}$ est la p-suite de Fibonacci.

En prolongeant la suite $(G_{n})$ aux entiers négatifs et en acceptant les $p$ négatifs dans la définition de $\varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}$ , la relation (1) est valable pour tous les entiers relatifs.

Alors, si $\varphi '_{p}=\varphi _{-p}=p-\varphi _{p}=-{1 \over {\varphi _{p}}}$ est l'autre solution de $x^{2}=px+1$, les puissances de $\varphi '_{p}$ vérifient également $\varphi _{p}'^{n}=G_{n}\varphi _{p}'+G_{n-1}$ de sorte que, par application de la formule de Binet, on a l'égalité :

$G_{n}={\frac {\varphi _{p}^{n}-\varphi _{p}'^{n}}{\varphi _{p}-\varphi _{p}'}}$.

Remarquons aussi que puisque ${1 \over {\varphi _{p}}}=\varphi _{p}-p$, l'inverse d'un nombre métallique a la même partie fractionnaire que lui.

De plus, la propriété $\varphi _{4}=\varphi ^{3}$ se généralise. En effet, toute puissance impaire d'un nombre métallique est un autre nombre métallique :

$\varphi _{p}^{2n+1}=\varphi _{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}p^{2k+1}}$

Par exemple, $\varphi _{p}^{3}=\varphi _{\left(p^{3}+3p\right)}$ .

Deuxième généralisation : constantes de p-nacci.

Une autre généralisation de la récurrence linéaire double : $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$ étant la récurrence p-uple : $u_{n+p}=u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots +u_{n+p-1}$, il a été aussi proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer le terme général des suites $(u_{n})$ vérifiant cette récurrence. Partant de l'or, l'argent et le cuivre (situés au-dessus de l'or dans le tableau périodique), ont été proposés pour les nombres suivants : le nickel, le cobalt et le fer . Mais par conformité avec les appellations données dans l'encyclopédie des suites entières (OEIS), nous désignerons ces nombres par constantes de p-nacci.

Par définition, chaque constante, notée $\alpha _{p}$ dans , est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : $x^{p}=1+x+\ldots +x^{p-1}$ (attention, avec cette numérotation, le nombre d'or est $\alpha _{2}$, $\alpha _{1}$ étant égal à 1).

En utilisant la formule des suites géométriques, on obtient que $\alpha _{p}$ est l'unique solution positive autre que 1 de l'équation de degré p + 1 : $x^{p+1}-2x^{p}+1=0$, équation qui peut s'écrire aussi : $x=2-{\frac {1}{x^{p}}}$ . Elle ne s'exprime pas à l'aide de radicaux à partir de p = 5, mais peut s'écrire comme somme d'une série :

$\alpha _{p}=2-2\sum _{i=1}^{+\infty }{\frac {\binom {(p+1)i-2}{i-1}}{i\cdot 2^{(p+1)i}}}.$

Premières valeurs

p	Constante de	Expression	Écriture décimale	Métal (appellation de )	Suite récurrente associée
2	Fibonacci	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
3	Tribonacci	${\frac {{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+1}{3}}$	1,8392867552 suite A058265 de l'OEIS	Argent	suite de Tribonacci
4	Tétranacci	Existence d'une expression par radicaux réels faisant intervenir ${\sqrt[{3}]{65+3{\sqrt {1689}}}}$	1,927561975 suite A086088 de l'OEIS	Cuivre	suite de Tétranacci, suite A000078 de l'OEIS
5	Pentanacci	Pas d'expression par radicaux	1,9659482366 suite A103814 de l'OEIS	Nickel	suite de Pentanacci, suite A001591 de l'OEIS
6	Hexanacci	NC	1,983582843 suite A118427 de l'OEIS	Cobalt	suite d'Hexanacci, suite A001592 de l'OEIS
7	Heptanacci	NC	1,991964197 suite A118428 de l'OEIS	Fer	suite d'Heptanacci, suite A122189 de l'OEIS

Étude de la suite des constantes de p-nacci

Cette suite croit strictement de 1 jusqu'à sa limite égale à 2. Ceci est aussi "confirmé" par la suite d' "infinacci" où chaque terme est la somme de tous les précédents, débutant par 0,1 : 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... où le quotient de termes consécutifs vaut exactement 2.

Un encadrement simple est :

$2-{\frac {1}{2^{p-1}}}\leqslant \alpha _{p}\leqslant 2-{\frac {1}{2^{p}}}$.

Un développement asymptotique est :

$\alpha _{p}=2-{\frac {1}{2^{p}}}-{\frac {p}{2^{2p+1}}}+o\left({\frac {1}{2^{p}}}\right)$.

L'équation caractéristique possède une unique solution négative, supérieure à –1 pour p pair, et aucune pour p impair. Cette solution, ainsi que les solutions complexes $\alpha$ ont un module vérifiant $3^{-p}<|\alpha |<1$ , qui tend donc vers 1 quand p tend vers l'infini.

Voir également

• Nombre d'argent
• Nombre plastique
• Vera W. de Spinadel

Notes et références

Bibliographie

• (en) Alexey Stakhov, « The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics », sur PeaceFromHarmony.org.
• (en) Cristina-Elena Hrețcanu et Mircea Crasmareanu, « METALLIC STRUCTURES ON RIEMANNIAN MANIFOLDS », REVISTA DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA, vol. 54, n^o 2,‎ 2013, p. 15–27 (lire en ligne).
• (en) Miloje M. Rakočević, « FURTHER GENERALIZATION OF GOLDEN MEAN IN RELATION TO EULER’S “DIVINE” EQUATION », sur arxiv.org.