Mouvement brownien fractionnaire

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Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940 comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert.

Mandelbrot et Van Ness (1968) l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers et en étudiant ses propriétés. Le champ des applications du mBf est immense. En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique...

Rudiments mathématiques[modifier | modifier le code]

Définition du mBf[modifier | modifier le code]

Le mouvement Brownien fractionnaire d'exposant de Hurst  \alpha \in
(0,1), noté  \{B_{\alpha}(t)\}_{t\in \mathbb{R}}, est l'unique processus Gaussien centré et continu dont la covariance est donnée par:

 \mathbb{E} (B_{\alpha}(s)B_{\alpha}(t)) = \frac{C_{\alpha}}{2}(|s|^{2\alpha}+|t|^{2\alpha}-|s-t|^{2\alpha}),

 C_{\alpha} = \rm{Var}(B_{\alpha}(1)) est une constante positive qui ne dépend que de  \alpha . Lorsque  C_{\alpha}=1 , nous obtenons le mBf standard. Le mBf est l'une des généralisations les plus naturelles du Mouvement brownien. En effet,

  1. Lorsque  \alpha>1/2 ,  B_{\alpha} est une primitive fractionnaire du mouvement brownien.
  2. lorsque  \alpha<1/2 , il est une dérivée fractionnaire du mouvement brownien.
  3.  B_{1/2} se réduit à un mouvement brownien.

Deux Représentations équivalentes du mBf[modifier | modifier le code]

Représentation par moyenne mobile du mBf[modifier | modifier le code]

Dans les travaux de Mandelbrot et Van Ness (1968), le Mouvement Brownien Fractionnaire est défini, à une constante multiplicative près, par l'intégrale de Wiener suivante :

 B_{\alpha}(t)\mathrel{:=} \int_{\mathbb{R}} \left[ (t-s)_{+}^{\alpha-1/2}-(-s)_{+}^{\alpha-1/2} \right] \mathrm{d}B(s),

x_{+}=\max\{x,0\} et dB est un bruit blanc réel.

Représentation Harmonisable du mBf[modifier | modifier le code]

Samorodnitsky et Taqqu (1994) ont montré que le Mouvement Brownien Fractionnaire  B_{\alpha}(s) peut être représentée par l'intégrale stochastique suivante :

 B_{\alpha}(s):=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{is\xi}-1}{|\xi|^{\alpha+1/2}} \widehat{\rm{dB}}(\xi).

ou bien

 B_{\alpha}(s):=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{is\xi}-1}{i \xi |\xi|^{\alpha-1/2}}\widehat{\rm{dB}}(\xi).

 \widehat{\rm{dB}} est la Transformée de Fourier du bruit blanc  \rm{dB} à valeurs réelles : pour tout  f\in L^2(\mathbb{R}),

 \int_{\mathbb{R}}f(s) \rm{dB}(s)=\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi) \widehat{\rm{dB}}(\xi).

Propriétés principales du mBf[modifier | modifier le code]

  • Auto-similarité du mBf Le mBf de paramètre de Hurst  \alpha est un processus \alpha-auto similaire : ce qui signifie que

 \forall a>0, \{B_{\alpha}(at)\}_{t\in\mathbb{R}}\stackrel{loi}{=}\{a^{\alpha}B_{\alpha}(t)\}_{t\in\mathbb{R}}.

  • A accroissements stationnaires Le mBf est un processus à accroissements stationnaires : c'est-à-dire

 \forall s\in\mathbb{R}, \lbrace B_{\alpha}(t+s)-B_{\alpha}(s) \rbrace_{t\in\mathbb{R}}
\stackrel{loi}{=} \lbrace B_{\alpha}(t) - B_{\alpha}(0) \rbrace_{t\in\mathbb{R}}.

  • Longue dépendance Lorsque  \alpha>1/2, le mBf possède la propriété de longue dépendance. Cette propriété

est décrite de manière suivante :

 \forall j\in\mathbb{Z}, Z_{\alpha}(j) = B_{\alpha}(j+1)-B_{\alpha}(j),

ensuite posons


\forall (i,j) \in \mathbb{Z}^2, \Gamma(i-j)= \mathbb{E}\Big\{Z_{\alpha}(i) Z_{\alpha}(j)\Big\}

alors


\sum_{p\in\mathbb{Z}} \Big| \Gamma(p) \Big| = +\infty

Cela signifie que les valeurs du mBf entre deux temps espacés ont une petite corrélation mais non négligeable (non sommable!).

Régularité Höldérienne du mBf[modifier | modifier le code]

L'objectif de cette section, est de donner les éléments qui permettent de connaitre plus précisément la régularité du mBf. Pour cela, on introduit la quantité suivante :

Exposant de Hölder uniforme[modifier | modifier le code]

Soient  \lbrace Y(t) \rbrace_{t\in\mathbb{R}} un processus stochastique possédant des trajectoires continues, nulle-part dérivables et  [a,b] un intervalle compact de  \mathbb{R}. On définit l'exposant de Hölder uniforme de  Y sur  [a,b], noté (EHU), par


h_Y([a,b])=\sup \left\{h \geq 0 : \sup_{x_1,x_2\in[a,b]}\frac{|Y(x_1)-Y(x_2)|}{|x_1-x_2|^{h}}< +\infty \right\}.

Cet exposant vérifie la propriété suivante : sur tout intervalle compact  [a,b] \subset \mathbb{R} , avec probabilité 1  0\leq h_Y([a,b])\leq 1.

Interprétation : Plus cet exposant,  h_Y([a,b]) , est proche de 1, plus le processus est régulier sur le segment  [a,b].

Dans le cas du mBf,  B_{\alpha}, l'exposant de Hölder uniforme h_{B_{\alpha}} vérifie, avec probabilité 1, pour tout [a,b]\subset \mathbb{R} ,

 h_{B_{\alpha}}([a,b])=\alpha.

Les graphes suivants montrent que la régularité uniforme du mBf peut être prescrite via son paramètre de Hurst \alpha.

Estimation de l'exposant de Hölder uniforme du mBf[modifier | modifier le code]

Dans cette section, nous introduisons un estimateur de l'exposant de Hölder uniforme  \alpha du mBf  B_{\alpha} à partir des observations d'une trajectoire discrétisée sur l'intervalle  [0,1] . Plus précisément, soit  N\in\mathbb{N} , supposons que nous observons le mBf standard  B_{H}(i/N),i=0,\ldots,N .

Idée pour un mBf standard, nous avons pour tous  s,t\in\mathbb{R} ,

 \mathbb{E}\Big(|B_{\alpha}(t)-B_{\alpha}(s)|^2\Big)=|t-s|^{2\alpha}.

Il résulte du Théorème ergodique et la continuité de trajectoire du mBf que

 \frac{\sum_{i=0}^{N-1}\Big(B_{\alpha}(\frac{i+1}{N})-B_{\alpha}(\frac{i}{N})\Big)^2}{N^{1-2\alpha}}\xrightarrow[N\rightarrow+\infty]{p.s.}1.

Construction de l'estimateur : notons par

 V_N:=\sum_{i=0}^{N-1}\Big(B_{\alpha}(\frac{i+1}{N})-B_{\alpha}(\frac{i}{N})\Big)^2,

alors

 \hat{\alpha}_N:=\frac{1}{2}\Big(1-\frac{\log(V_N)}{\log(N)}\Big)

est un estimateur fortement consistant de  \alpha  : nous avons

  \hat{\alpha}_N\xrightarrow[N\rightarrow+\infty]{p.s.}\alpha.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Benassi, Albert and Cohen, Serge and Istas, Jacques, Identification and properties of real harmonizable fractional Lévy motions, Bernoulli, 8, 1, 97-115, 2002.
  • Doukhan, Paul (ed.) and Oppenheim, George (ed.) and Taqqu, Murad S.(ed.), Theory and applications of long-range dependence., Boston, Birkhäuser. x, 2003.
  • Embrechts, Paul and Maejima, Makoto, Selfsimilar processes, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2002.
  • A. N. Kolmogorov, The Wiener spiral and some other interesting curves in Hilbert space, Dokl. Akad. Nauk SSSR. 26:2 (1940), 115–118. (Russian)
  • Mandelbrot, B.B. and Van Ness, J.W., Fractional Brownian motions, fractional noises and applications., SIAM Rev., 10, 422-437, 1968.
  • Samorodnitsky, Gennady and Taqqu, Murad S., Stable non-Gaussian random processes : stochastic models with infinite variance., Stochastic Modeling. New York, NY: Chapman & Hall., 1994.