Loi de Rayleigh-Jeans

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Comparaison de différentes lois de rayonnement (Rayleigh-Jeans, Wien et Planck). Les lois de Planck et de Rayleigh-Jeans s'accordent bien aux plus basses fréquences. Les lois de Planck et de Wien s'accordent bien aux plus hautes fréquences.

La loi de Rayleigh-Jeans est une loi proposée au XIXe siècle par John William Strutt Rayleigh et James Jeans afin d'exprimer la distribution de la luminance spectrale énergétique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température dans le domaine des grandes longueurs d'ondes.

Au XXIe siècle, même si elle est exacte aux basses fréquences, la loi de Planck lui est préférée car elle s'applique à une plus grande étendue de fréquences.

Cavité électromagnétique[modifier | modifier le code]

On s'intéresse à l'onde électromagnétique existant dans une cavité parallélépipédique, délimitée par des parois parfaitement conductrices. A l'équilibre thermique à température T, on peut assimiler ce champ au rayonnement d'équilibre. L'étude des ondes stationnaires conduit à une expression de la fréquence mettant en jeu trois nombres entiers positifs (quantification des modes).

f_{m,n,p}=\left(\frac{c}{2}\right)\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2+\left(\frac{p}{d}\right)^2}

où a, b et d sont les dimensions de la cavité. Il est possible de donner une représentation dans un huitième d'espace (coordonnées toutes positives) dont les axes sont gradués en 1/a, 1/b et 1/d. Trois entiers positifs m, n et p définissent en effet un mode par un point[1].

Dénombrement des modes[modifier | modifier le code]

Pour un intervalle de fréquence [0,\nu] , les modes correspondent à des points contenus dans un huitième de sphère de rayon égal à \ 2\nu/c \ d'après la relation précédente. Dès que le nombre de modes est élevé, il est possible d'en évaluer le nombre en divisant le volume du huitième de sphère par celui d'une cellule élémentaire. Celle-ci est un parallélépipède de côtés 1/a, 1/b et 1/d, donc de volume 1/(abd)=1/V, où V est le volume de la cavité. On aboutit ainsi à

N(\nu)= 2\times V \times\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}\pi\times\left(\frac{2\nu}{c}\right)^3=\frac{8\pi V}{3}\left(\frac{\nu}{c}\right)^3=\frac{8\pi V}{3\lambda^3}

Le facteur 2 correspondant aux deux états de polarisations indépendants associés à un vecteur d'onde donné.

Pour un intervalle spectral élémentaire [\nu,\nu + d\nu ] ou [\lambda,\lambda + d\lambda ], le nombre de modes est ainsi donné par la différentielle de N, soit, au signe près:

N_\nu d\nu=\frac{8\pi V}{c^3}\nu^2d\nu=\frac{8\pi V}{\lambda^4}d\lambda =N_\lambda d\lambda

La densité spectrale des modes est

\rho_\nu=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}

ou

\rho_\lambda=\frac{8\pi}{\lambda^4}

Densité spectrale d'énergie[modifier | modifier le code]

En divisant le nombre de modes N par le volume V et en multipliant par l'énergie thermique kT, on obtient la densité spectrale d'énergie:

u_\nu d\nu=\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 kT d\nu

u_\lambda d\lambda=\frac{8\pi}{\lambda^4}kT d\lambda

En multipliant par la vitesse de la lumière et en divisant par  4\pi radians, on obtient la luminance spectrale énergétique:

L_\lambda=\frac{cu_\lambda}{4\pi}=\frac{2c}{\lambda^4}kT

Formule de Rayleigh-Jeans[modifier | modifier le code]

La luminance spectrale énergétique est (W/(m3.sr) :

L_\lambda = \frac{2kc T}{\lambda^{4}}

avec :

Cette loi, qui suggérait une croissance sans limite de la luminance dans le domaine des faibles longueurs d'ondes, n'était pas vérifiée par l'expérience dans l'ultra-violet; c'est ce qu'on appelle la catastrophe ultra-violette.

C'est ce qui conduisit Max Planck à proposer une loi valable sur la totalité du spectre : la loi de Planck. Ainsi, la loi de Rayleigh-Jeans est une approximation de la loi de Planck, utilisable lorsque \lambda\frac{hc}{kT}, avec h = 6,62617×10-34 J⋅s (constante de Planck).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Loi du rayonnement de Rayleigh-Jeans

Articles connexes[modifier | modifier le code]