Lemme du tube

En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale suivant :

Si x est un point d'un espace topologique X et si Y est un espace quasi-compact, tout ouvert de X × Y contenant la partie {x} × Y contient un ouvert élémentaire U × Y contenant cette partie.

Il permet par exemple de démontrer simplement que tout produit fini de compacts est compact, sans recourir au théorème de Tychonov.

Remarques

• Le lemme du tube équivaut à :Pour tout espace X et tout espace quasi-compact Y, la projection X × Y → X est une application fermée.

Preuve de l'équivalence

Dire que cette projection est fermée équivaut à pour tout fermé F de X × Y, l'ensemble des x tels qu'au moins un (x, y) appartienne à F est un fermé de X donc à pour tout ouvert O de X × Y, l'ensemble des x tels que tous les (x, y) appartiennent à O est ouvert dans X, c'est-à-dire voisinage de chacun de ses points, ou encore, à pour tout ouvert O de X × Y et tout x tel que {x} × Y est inclus dans O, il existe un ouvert U contenant x tel que U × Y soit inclus dans O.

• L'hypothèse que Y est quasi-compact est indispensable : par exemple dans le plan euclidien ℝ × ℝ, l'ouvert {(x, y) ; |x| < 1/(y² + 1)} contient {0} × ℝ mais ne contient aucun ouvert élémentaire intermédiaire. Plus généralement, pour tout espace Y non quasi-compact, il existe un espace X pour lequel la projection X × Y → X n'est pas fermée, donc dans lequel un certain point x ne vérifie pas le lemme du tube.

Application aux produits finis de compacts

Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compact. Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.

Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini.

Généralisation

La preuve de la généralisation suivante est à peine plus compliquée que la preuve directe du lemme du tube.

Si A est une partie quasi-compacte d'un espace X et B une partie quasi-compacte d'un espace Y, tout ouvert contenant la partie A × B contient un ouvert élémentaire U × V contenant cette partie.

Elle permet de montrer que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tube lemma » (voir la liste des auteurs).