Fonction de Stumpff

Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Karl Stumpff (en), sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

Définition

La fonction $c_{n}(x)$ de Stumpff, est définie par :

$c_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{\frac {(-1)^{k}}{(2k+n)!}}x^{k}}.$

La série converge pour tout réel $x$.

Valeurs particulières

On remarque que :

• $c_{0}(x^{2})=\cos(x)$
• $c_{1}(x^{2})={\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$, où sinc désigne le sinus cardinal
• $c_{2}(x^{2})={\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}$
• $c_{3}(x^{2})={\frac {x-\sin(x)}{x^{3}}}$

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser $c_{n}(-x^{2})$ pour passer au cas hyperbolique :

• $c_{0}(-x^{2})=\cosh(x)$
• $c_{1}(-x^{2})={\frac {\sinh(x)}{x}}$

Propriétés

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

$\forall n\in \mathbb {N} ,\,xc_{n+2}(x)={\frac {1}{n!}}-c_{n}(x)$

On a également :

$2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}c_{n}(x)=nc_{n+2}(x)-c_{n+1}(x)$

Pour tout entier positif n, $c_{n}(0)={\frac {1}{n!}}$.

Utilité

La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est :

• une ellipse si l'énergie est négative
• une branche d'hyperbole si l'énergie est positive
• une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).

Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différents fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.

Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du développement en série de sin et cos.

Références

• (de) Karl Stumpff, Himmelsmechanik, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1956, 1965, 1974
• (en) Richard H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA, 1999 (ISBN 978-1-56347342-5)
• (en) Eduard Stiefel et Gerhard Scheifele, Linear and Regular Celestial Mechanics , Springer-Verlag, 1971 (ISBN 978-0-38705119-2)