Fonction de Stumpff

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Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Karl Stumpff (en), sont des développements en série entière utilisées en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction c_n (x) de Stumpff, est définie par :

 
c_n (x)= \sum \limits_{k = 0}^{+\infty}  {\frac{( - 1)^k }{(2k+n)!} x^k}.

La série converge pour tout x réel.

Valeurs particuliers[modifier | modifier le code]

On remarque que :

De même, on a, pour tout entier positif n,  c_n (0)= \frac{1}{n!}.

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser  c_n (-x^2) pour passer au cas hyperbolique :

  •  c_0 (-x^2)= \cosh (x)
  •  c_1 (-x^2)= \frac{\sinh (x)}{x}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

 \forall n \in \mathbb{N},\, xc_{n+2} (x)= \frac{1}{n!}-c_{n} (x)

On a également :

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} c_{n} (x)= nc_{n+2} (x) - c_{n+1}(x)

Utilité[modifier | modifier le code]

La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est :

  • une ellipse si l'énergie est négative
  • une branche d'hyperbole si l'énergie est positive
  • une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).

Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différents fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.

Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du développement en série de sin et cos.

Références[modifier | modifier le code]