Entropie topologique

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En mathématiques et plus précisément, dans la théorie des systèmes dynamiques, l'entropie topologique est un réel associé à tout homéomorphisme d'un espace topologique séparé et compact. Ce réel caractérise l'action induite de l'homéomorphisme sur les recouvrements ouverts finis de l'espace considéré, ou plutôt le comportement limite de son itération lorsque le nombre d'ouverts tend vers l'infini. Certains ouvrages ou articles définissent la notion par restriction aux espaces compacts métrisables. Non seulement, cela permet d'énoncer une définition plus abordable, mais en plus elle recouvre tous les cas intéressants. De plus, cette seconde approche permet de réinterpréter l'entropie topologique en termes de comportement limite du pistage des orbites de l'homéomorphisme, un outil important dans la compréhension des systèmes dynamiques topologiques.

L'entropie topologique est une notion topologique, à ne pas confondre avec l'entropie métrique qui caractérise les systèmes dynamiques mesurables. Toutefois, tout homéomorphisme sur un espace compact admet des mesures boréliennes invariantes (en) ; l'entropie topologique apparait de facto comme la borne supérieure des entropies métriques correspondantes (lire théorème du principe variationnel).

Approche métrique de l'entropie topologique[modifier | modifier le code]

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit X un espace compact métrisable et h:X\rightarrow X un homéomorphisme de X. Pour une distance d donnée, on appelle r-suite toute suite de points de X séparés d'une distance au moins r : cette notion dépend explicitement de la distance d. Les r-suites peuvent être vues comme une variante discrète du recouvrement de X par des boules ouvertes.

Plus précisément, si m_d(r) désigne le nombre minimum de boules ouvertes de rayon r pour recouvrir X, alors, par application du principe des tiroirs, il ne peut exister aucune r suite d'une longueur supérieure à m_d(r/2). Réciproquement, pour toute r-suite maximale x_1,\dots,x_k, les boules ouvertes de centres respectifs x_1,\dots,x_k et de rayon r recouvrent X. De fait, on dispose de l'encadrement :

m_d(r)\leq n_d(r)\leq m_d(r/2).

Notons d_n la distance itérée définie par :

d_n(x,y)=\sup_{0\leq i\leq n} d(f^ix,f^iy).

Cette définition dépend de l'homéomorphisme f et  d_n(x,y) s'interprète comme la distance maximale entre les n premiers termes des orbites respectives de x et de y sous f. Donc, n_{d_n}(r) est le nombre maximal de points de X restant séparés d'une distance au moins r durant les n premières itérations de f.

L'entropie topologique de f est définie formellement par :

h(f)=\lim_{r\rightarrow 0} \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log n_{d_n}(r)

A priori, cette définition dépend explicitement de l'utilisation d'une distance arbitraire sur l'espace X. Il s'avère a posteriori que cette quantité dépend uniquement de la topologie de X (de la donnée des ouverts de X).

Pistage[modifier | modifier le code]

Le pistage consiste à approcher les premiers termes d'une orbite de f par une suite de points à une distance \epsilon près. En pratique, il est intéressant de pister des orbites par des pseudo-orbites. Le nombre minimal d'orbites de f qu'il faut utiliser pour pouvoir pister toutes les orbites de f est m_{d_n}(r). Des inégalités :

m_{d_n}(r)\leq n_{d_n}(r)\leq m_{d_n}(r/2).

Il vient :

h(f)=\lim_{r\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log m_{d_n}(r)

Ainsi, pour des petits r, de manière informelle, m_{d_n}(r) est en ordre de grandeur de l'ordre de exp((h(f)+o(r)).n).

Indépendance en la distance[modifier | modifier le code]

Approche topologique de l'entropie topologique[modifier | modifier le code]

Par compacité de X, pour tout recouvrement ouvert U de X, on peut en extraire des sous-recouvrements finis. Notons N(U) le nombre minimal d'ouverts à sélectionner parmi U pour former un recouvrement de X. Ce nombre N(U) est une fonction décroissante de U : si V est un recouvrement plus fin que U, alors N(V)<N(U).

Pour U et V donnés, on note  U \lor V le recouvrement constitué des intersections des ouverts de U par les ouverts de V. Il est élémentaire de constater :

N(U \lor V )\leq N(U).N(V)

On construit une suite U_n par récurrence en posant :

U_n=U_{n-1}vf^*U_n

La suite \log N(u_n) est sous-additive en n. Par des résultats mathématiques classiques, le rapport \log N(U_n)/n converge. On appelle entropie relative de f par rapport à U la limite :

 h(f,U)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log N(U_n)

Définition formelle[modifier | modifier le code]

h(f)=\sup_Uh(f,U)

Cette entropie relative est décroissante en U. Le supremum peut être lu comme un passage à la limite sur les recouvrements ouverts de X. Ce passage à la limite se formalise mathématiquement par la notion de filtre.

Plus simplement ici, il est possible d'introduire h(f) comme une limite sur une suite d'entropies relatives. Plus précisément, on a :

 h(f)=\lim_{n\rightarrow \infty} h(f,U_n)

U_n est une suite de recouvrements de plus en plus fins, qui ont la propriété que, pour tout recouvrement V donné, pour n suffisamment grand, U_n est plus fin que V.

L'introduction d'une distance[modifier | modifier le code]

Propriétés de l'entropie topologique[modifier | modifier le code]

  • Pour tout homéomorphisme f d'un espace topologique séparé compact X, l'entropie topologique de fk est k fois l'entropie topologique de f :
h(f^k)=k.h(f)
h(f^{-1})=h(f)

Calcul de l'entropie topologique[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]