Discussion:Pseudo-inverse

Fusion Pseudo-inverse et Pseudoinverse

Deux articles sur la même notion d'algèbre. — mro ^[d] 8 novembre 2008 à 16:04 (CET)

Comme toujours en ce qui concerne les articles de mathématique, il serait préférable qu'un spécialiste s'en charge. Le projet a été averti, j'attend que la fusion se fasse. Jerome66 23 novembre 2008 à 10:26 (CET)

Sans aller jusqu'à me prétendre spécialiste du sujet, je le comprends bien et peux faire une fusion du contenu (dans « Pseudo-inverse », de préférence) mais je ne peux rien faire pour les historiques.

Accessoirement, si les propositions de fusion concernant des articles de mathématiques pouvaient être signalées sur la page Projet:Mathématiques/Consultations (visible directement sur la page du projet), cela permettrait une meilleure réactivité des participants en mathématiques à ces questions. Cordialement, Ambigraphe, le 25 novembre 2008 à 09:40 (CET)

Bonjour Ambigraphe. Tout d'abord merci de t'être proposé pour la fusion des contenus, je m'occuperai ensuite de celle des historiques. Quant à la signalisation des demandes de fusion sur Projet:Mathématiques/Consultations, elle semble être automatique. En tout cas, pour cette demande ci, elle y figure avec celle pour Chiralité, Chiralité (mathématiques) et Chiralité (physique). Jerome66 25 novembre 2008 à 12:04 (CET)

OK pour la fusion. En ce qui concerne la page de consultations, non, c'est pour l'instant moi qui la remplis en feuilletant la présente page de temps en temps. J'ai fait une requête de bot mais elle n'a pas encore abouti. Si donc vous voyez des fusions annoncées sur des articles de mathématiques, merci de faire un signe là-bas au cas où je ne suive pas les PAF à ce moment. Ambigraphe, le 25 novembre 2008 à 21:26 (CET)

Les deux articles sont maintenant identiques, si j'ai bien compris comment procéder à la fusion. Je vous laisse fusionner les historiques et remplacer le contenu de « Pseudoinverse » par une redirection vers « Pseudo-inverse ». Ambigraphe, le 30 novembre 2008 à 00:15 (CET)

Historiques fusionnés et liens corrigés. Jerome66 1 décembre 2008 à 06:47 (CET)

Exemple

UN exemple concret de matrice pseudo-inverse serait le bienvenu pour les ignorants comme moi. --Ereduverseau (discuter) 13 septembre 2013

En voici un, mais est-ce que vous vous sentez plus avancé ?

$A={\begin{pmatrix}12&-27&36&44&59\\26&41&-54&24&23\\33&70&59&15&-68\\43&16&29&-52&-61\\-43&20&71&88&11\\\end{pmatrix}}$

La matrice $A$ n'est pas inversible (son déterminant est nul, et on a la relation $C_{1}-2C_{2}-C_{3}+2C_{4}-2C_{5}=0$ entre les colonnes. Une pseudo-inverse est égale à (arrondi à trois chiffres après la virgule):

$P=10^{-3}{\begin{pmatrix}11.749&5.636&3.665&5.953&-6.142\\-3.889&6.647&4.639&-1.428&1.744\\6.059&-5.820&2.188&3.956&2.146\\1.246&3.960&1.764&-3.189&4.229\\7.980&3.041&-2.137&-0.762&-1.659\\\end{pmatrix}}$

On peut vérifier les relations $PAP=P$ et $APA=A$, et bien sûr $P$ n'est pas non plus inversible - sinon on aurait en multipliant par $P^{-1}$ la relation $AP=I$, qui n'a aucune chance de se produire étant donné que $A$ est singulière.

Il me semble que ce n'est pas tellement un exemple numérique qui éclaire sur la question, mais les applications, notamment aux équations normales en statistiques.

Pour info, il est facile d'explorer la pseudo-inverse avec un logiciel comme Scilab :

//exemple avec une matrice d'ordre 5 et de rang 2 (donc pas inversible)
r = rand(5, 2)
a = r*r'
//ou bien avec l'exemple plus haut
//a = [ 12 -27  36  44  59;
//      26  41 -54  24  23;
//      33  70  59  15 -68;
//      43  16  29 -52 -61;
//     -43  20  71  88  11]
det(a)
p = pinv(a)
p*a*p - p
a*p*a - a

Arbautjc (discuter) 16 septembre 2013

Les matrices ne s'affichaient pas ( code source en rouge avec « Pas réussi à analyser(erreur indéterminée)» ). Après quelques essais, il s'avère que le commentaire invisible (!-- --) ne doit pas contenir trop de balise du type <····> .

• De plus, anomalie fréquente  : la première visualisation est mauvaise et la deuxième est bonne alors qu'il n'y a eut aucune modification ! ?
• Avec des résultats pour «prévisualiser» et «enregistrer » qui sont aléatoires, il devient difficile d'écrire en utilisant TeX .

Jean Reuss (discuter) 11 octobre 2013

J'avais déjà noté le problème des balises en rouges "des fois oui des fois non". C'est peut-être un bug dans ce que j'ai écrit, mais je n'ai pas trouvé où ; ou alors c'est un bug de Wikipédia avec LaTeX ? Mystère. Arbautjc (discuter) 14 octobre 2013

Étrangetés dans le § Propriétés

Dans La pseudo-inversion est involutive et commute avec la transposition et la conjugaison. Cependant, elle n'est pas continue. En effet, elle est inversement linéaire par rapport à la multiplication par un scalaire :

• je remplacerais bien « inversement linéaire par rapport à la multiplication par un scalaire » par « homogène de degré –1 » ;
• je ne comprends pas du tout le pourquoi du « Cependant » (en quoi les propriétés précédentes pourraient-elles faire espérer la continuité ?) ;
• je ne suis pas sûre de comprendre le « En effet » : l'argument qui le suit montre seulement qu'elle n'est pas continue en 0. L'est-elle ailleurs ?

Anne, 9/8/2021, 12 h 12

Bonjour Anne Bauval Logiquement, elle n'a aucune raison d'être continue en un point (une matrice) non inversible ; et c'est assez facile de montrer que si elle était continue en A non inversible, L'ensemble des matrices inversibles étant dense, on aurait une suite de matrices A_n tendant vers A telles qu'en notant M' le pseudo-inverse de M, on ait A_nA'n=I, donc passant à la limite AA'=I absurde... Ou alors, j'ai rien compris...--Dfeldmann (discuter) 9 août 2021 à 12 h 22

Merci Denis (ta notif n'a pas fonctionné parce que tu n'avais signé qu'avant), OK, et (de même) en une matrice non carrée, la pseudo-inversion est continue (si et) seulement si cette matrice est de rang maximum (le min du nombre de lignes et du nombre de colonnes). Hélas pas de source. Anne, 16 h 12

Bonjour Anne Bauval  ; en fait, il semble qu'il y ait abondance de sources, par exemple ceci ou cela... mais rien qui me soit accessible pour en être sûr. Quelqu'un aura peut-être un accès institutionnel à ces sources ?--Dfeldmann (discuter) 10 août 2021 à 05:25 (CEST)

Pas moi :( Anne, 16 h 30

Cas particuliers

Dans ce paragraphe des "Cas particuliers", concertant le 3ème exemple, je crois qu'il manque une information dans la rédaction au sujet de la matrice "B" qui n'est mentionnée nulle part avant ou seulement plus tard au paragraphe du " Calcul effectif" dans le cas général il me semble:

"...Plus généralement, si le rang de est égal à son nombre de lignes, la matrice "B" peut être choisie égale à l’identité et dans ce cas..."

Si j'ai loupé quelque chose dites-le moi svp, sinon, je conseillerais de soit supprimer la mention de cette matrice "B" pas vraiment nécessaire, ou de préciser au moins cette anticipation pour ne pas perdre le lecteur qui pourra accepter d'attendre d'avoir lu le paragraphe du "Calcul effectif" pour revenir à ce cas particulier. FrancoisL (discuter) 20 août 2022 à 09:07 (CEST)