Discussion:Métrique de Schwarzschild

--Bernardodo (discuter) 16 mai 2021 à 18:53 (CEST)

Métrique d'une 2-sphère

Le fait qu'on "impose" à un moment la métrique d'une 2-sphère me gêne un peu. Intuitivement, ça paraît clair, mais n'est-il pas possible de trouver une exploitation "mathématique" de la symétrie qui démontre cette forme ?

la métrique de la 2-sphère utilisée est la seule métrique qui soit invariante sous l'action du groupe $SO(3)$ donc il n'y pas grand chose de plus à rajouter. Dire qu'on impose (c'est bien là une hypothèse)la symétrie sphérique est donc bien équivalent à imposer cette forme particulière à la métrique. La chose non-triviale ici c'est qu'in fine, en quatre dimensions, cela résulte en une métrique qui est de plus statique.Bien cordialement, LeYaYa 5 novembre 2006 à 01:29 (CET)

Bonjour,

J'ai moi aussi un problème de compréhension au sujet de la métrique de la sphère; si je comprends bien l'expression donnée avec le rayon (apparemment de courbure) r0, je ne vois aucune justification à son identification avec la variable radiale r, ce qui finalement impose aux surfaces r=Cste d'être des sphères dans un espace plat; il serait plus correct d'écrire que r0 est une fonction (à déterminer) de r, ce que fait d'ailleurs, pour autant que je sache, Schwarzschild dans son article original de 1916. Cordialement, --Michel au (d) 20 janvier 2012 à 10:10 (CET)

Devant l'absence de réaction des spécialistes en relativité générale je me décide à mettre en place le changement de variable que l'on trouve dans l'article de Droste ainsi que dans les cours sur cette discipline, ça me tire moins l'oeil.--Michel au (d) 31 janvier 2012 à 11:47 (CET)

Modèle relativité générale

Bonjour, bon après-midi, bonsoir.
J'aimerais savoir s'il est possible d'afficher sur cette page l'encadré à droite de la page Relativité générale ? Si cette métrique est la première solution non-vide des équations d'Einstein, elle doit appartenir à la "série sur la relativité" ? Après tout, il y a bien une page référencée sur une Métrique d'Alcubierre dans la Catégorie: Relativité. Je connais très mal les procédures et les règles d'éditions et je préfère laisser faire les usagers plus expérimentés. J'ai tenté d'améliorer cette page au mieux. Ce n'est peut-être pas terrible mais le but était d'établir une base plus riche pour les prochains intervenants.

PS : Personnellement, j'aime beaucoup l'encadré "Relativité" du site anglophone. C'est simple, élégant, bien hiérarchisé. Pratique.

--82.228.66.65 (d) 26 février 2010 à 14:11 (CET)

imprécision

"L'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat"

Je ne comprends pas cette affirmation.

1- En dehors de la singularité, l'espace temps de cette métrique est plat (par construction).

2- La singularité introduit une courbure à l'origine, qui se maintient sous forme de courbure globale dans l'espace-temps quel que soit la taille d'une sphère englobant l'origine.

Aurais-je manqué quelque chose ?

Le contenu de l'article me semble correct. "Cette métrique" est (dans l'article) la solution de l'equ. d'Einstein dans le vide, pas la métrique de Minkowski. "Cette métrique" n'est pas plate par construction. En effet, la singularité introduit une courbure à l'origine, qui se maintient sous forme de courbure globale dans l'espace-temps quel que soit la taille d'une sphère englobant l'origine, c'est pour cela que dit "asympotiquement" plat, car cette métrique n'est jamais parfaitrement plate comme vous le signalez bien dans 2). --Jean-Christophe BENOIST (d) 9 avril 2013 à 14:15 (CEST)

Fusion avec Géométrie de Schwarzschild ?

Je pose la question car je ne vois pas de distinction entre les sujets de ces deux articles. Cordialement.Lylvic (discuter) 28 décembre 2014 à 11:42 (CET)

Avant de le faire, il faudrait savoir quel est l'objet de Géométrie de Schwarzschild. On dirait que l'objet de cet article est de dériver la métrique des équations d'Einstein. Or, il y a déjà un tel paragraphe ici. Je ne vois pas comment fusionner sans dupliquer. Ni l'un ni l'autre ne sont correctement sourcés, ni ne présentent les choses sous forme encyclopédique, mais plutôt sous forme de cours à la Wikiversité. Le mieux ne serait-il pas de tout reprendre à zéro de manière encyclopédique, sourcé par des sources secondaires qui ont cette démarche ? --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 28 décembre 2014 à 12:33 (CET)

Je disais fusionner, mais je pensais plutôt faire une redirection de Géométrie de Schwarzschild vers Métrique de Schw, en accord avec ta comparaison entre eux. Cordialement. Lylvic (discuter) 28 décembre 2014 à 12:51 (CET)

Métrique de Schwarzschild#Au-delà de l'horizon: les coordonnées de Kruskal-Szekeres

Bonjour JC. Je trouve que ton paragraphe remplacerait avantageusement le contenu actuel de Métrique de Kruskal-Szekeres. Et j'ajouterais que tous ses détails n'ont pas leur place ici, juste la conclusion relative à Rs, et une comparaison entre les deux métriques. Lylvic (discuter) 9 janvier 2015 à 20:48 (CET)

Ce n'est pas mon paragraphe ! Je n'y ai pas touché. Tu veux transférer ce paragraphe dans Métrique de Kruskal-Szekeres, ou transformer Métrique de Kruskal-Szekeres en redirection vers ce paragraphe ? D'ailleurs, un peu comme pour Lemaitre, je serais plus pour (comme les interwikis, et la plupart des sources) nommer un article indépendant Coordonnées de Kruskal-Szekeres. Je pense que seule la métrique de S mérite le nom de métrique, et les autres sont la même métrique, avec d'autres coordonnées. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 9 janvier 2015 à 21:51 (CET)

Proposition de l'ajout d'une nouvelle rubrique avant la rubrique Notes

Bonjour,

Je me passionne depuis quelques jours pour la métriques de Schwarschild, ce qui m'a permis de comprendre plein de choses sur les outils mathématiques utilisés dans la célèbre équation de champs gravitationnels d'Einstein via la consultation de plusieurs média (un médium, des média?).

En parcourant la page wiki, j'ai fini par trouver en bas de page les 2 articles originaux de Schwarzschild et leur traduction en anglais. À la base, j'ignorais l'existence de ce second article et du fait que les conclusions de l'auteur différent de ce qu'on nous communique. J'ai alors cherché l'origine de ces différences et j'ai trouvé.

Voici donc un brouillon (il y a plein de choses à corriger, notamment au niveau des références vu que ces liens sont déjà présent dans la page wiki mais j'ignore comment faire autrement):

 Zoharius : Merci pour votre proposition. Il y a des choses que je ne comprends pas ci-dessous. Vous dites "ce rayon constituait une frontière avant (ayant ?) une absence de signification physique", mais on ne voit pas en quoi "les conclusions de l'auteur différent de ce qu'on nous communique", car c'est l'opinion générale actuelle : l'horizon est dépourvu de signification physique (on peut supprimer la divergence par changement de référentiel, et le principe d'équivalence l'implique). Sauf en théorie des cordes, mais c'est une autre histoire. De plus, on est laissé sur notre faim à la fin : quelles sont les conséquences cosmologiques de la simplification de Hilbert ? Enfin, il reste à évaluer la WP:Proportion de cette polémique, qui ne semble pas très grande, et il faudrait peut-être être plus synthétique. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 29 juin 2019 à 17:37 (CEST)

Bonjour.

La partie "C’est le mathématicien David Hilbert ... dans la réalité" doit être sourcée, car c'est une interprétation du travail de Hilbert, il semble qu'il n'y a pas de document de sa main disant cela, et sans doute peu de personnes se sont aventurées à interpréter son travail.

Par ailleurs, dire que "La valeur de cette constante d’intégration α fut fixée plus tard...", c'est mal exprimer le travail qui permet d'en démontrer la valeur en considérant l'approximation newtonienne, sauf erreur de ma part.

En un mot, sourcer tout ça, et il ne doit pas y avoir beaucoup de sources de qualités à ce jour (il y en aura sans doute d'ici qlq années). Et comme le dit JCBenoist, en suivant WP:Proportion.

La solution de S actuelle n'est pas scientifiquement dévalorisée par cette métrique originelle de S. Et d'ailleurs, je me demande si la solution de S originelle ne va pas tout simplement hériter d'un nouveau nom, une fois que plusieurs physiciens de renom auront travaillé dessus et en auront donné tout son sens.

Cordialement. Lylvic (discuter) 29 juin 2019 à 22:18 (CEST)

Bonjour, c'est trés agréable de pouvoir échanger si vite. :)

Je vais essayer de répondre à toutes vos questions et contre-propositions.

C'est l'analyse des publications et de leur traduction qui doivent ici retenir, en priorité, notre attention. C'est en tout cas ce que j'ai essayé de faire. D'ailleurs, suite à vos commentaires, j'ai creusé un peu plus pour comprendre tout cela.

 Lylvic : Je me base sur un travail d'Antoci sous forme de pdf dont j'ai mis le lien stocké par le CNRS à la fin de mon brouillon. Il source une explication d'Hilbert dans une de ses publications en 1917. Je cite :

Transforming to the origin the position r=α, like Schwarzschild did, is in my opinion not advisable; moreover Schwarzschild's transformation is not the simplest one, that reaches this scope.

Il indique comme source : [9] Hilbert, D. (1917). Nachr. Ges. Wiss. G ̈ottingen, Math. Phys. Kl., 53 (submitted 23Dec. 1916).

Concernant la valeur de la constante d'intégration α, les publications de Schwarschild permettent de comprendre que cela c'est fait en deux fois. C'est dans sa seconde publication qu'il la fixe définitivement (voir sa conclusion en allemand ou sa traduction anglaise consultable via les liens indiqués dans la page de l'article wiki). Toutefois, je suis conscient que ce n'est pas évident de suivre ces explications. Une reformulation est certainement nécessaire et toute aide sera la bienvenue.

Concernant le nom de la métrique actuelle, c'est une très bonne question. Je n'ai pas d'avis tranché. Toujours est-il qu'Hilbert la fait connaître au monde avec une version différente. Au niveau scientifique, ce que je comprends c'est que S. avait fixé une limite pour r telle que α < r < +infini car, obtenant par ses calculs une pression infinie pour le domaine r =< α, il le considérait pour cette raison comme sans signification physique. D'ailleurs, la métrique de S. est normalement valide pour ne décrire que l'espace extérieur à l'objet étudié.

 Jean-Christophe BENOIST : Il faudra certainement remanier la phrase puisqu'elle n'est apparemment pas claire. J'ai bien écrit "ce rayon constituait une frontière avant une absence de signification physique". S. a indiqué dans son second article en conclusion qu'en deçà de r > α (et non le rayon lui-même), il n'y avait pas de signification physique car la pression obtenue par calcul est infinie donc un objet devait forcément avoir un rayon dépassant cette valeur (si besoin, voir la traduction en anglais de l'article et sa conclusion page 9).

Concernant les conséquences cosmologiques et la polémique résultante, l'une d'elle est apparemment l'impossibilité de formation des trous noirs, ou du moins que la métrique originelle de Schwarschild ne le permet pas. Comme indiqué, l'auteur de la traduction anglaise en accès libre fait partie des scientifique contradicteurs.

Il serait en effet intéressant d'évaluer la WP:Proportion. J'ai creusé et j'ai trouvé moins d'une dizaine d'astrophysiciens contradicteurs. Toutefois, c'est la méconnaissance de ce changement opéré par Hilbert qui semble être la principale raison à ce petit nombre (vu que pour raisons historiques cela n'a pas été enseigné, S. est mort trop tôt). Je n'ai aucune assise scientifique pour être pour ou contre, je la constate. Est-ce que Hilbert a eu raison de faire cette simplification ? Il faudrait le demander à des experts. En tout cas, c'est intéressant de le savoir.

Je ne comprends pas la phrase "ce rayon constituait une frontière avant une absence de signification physique", qui me semble syntaxiquement incorrecte (que veut dire "avant une absence" ?). A quel passage de la source cela correspond-t-il ? --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 3 juillet 2019 à 11:36 (CEST)

 Jean-Christophe BENOIST : J'ai un peu remanié la phrase : "ce rayon constitue une borne mathématique minimale avant une absence de signification physique pour tout objet réel." J'ai aussi ajouté auparavant qu'il s'agit du rayon d'une sphère et d'autres détails...

La phrase "K. Schwarzschild fixa la valeur de cette constante d’intégration α en la liant au rayon d'une sphère à l'intérieur de laquelle un corps, en son centre, exerce une force d'attraction où même la lumière ne peut plus s'échapper localement, soit 2GM/c² via la formule donnant la vitesse de libération. Ce rayon minimal porte aujourd’hui le nom de Rayon de Schwarzschild." est-elle sourcée ? Mon TI perso est: j'avais compris autre chose, plutôt une rigidité artificiel imposée à l'espace-temps sous la forme d'une masse sphérique inerte, ce qui justifierait le choix d'Hilbert, mais pourrait aussi être utile aussi pour décrire certains phénomènes astronomique.

Par ailleurs, sont-ce bien "les conséquences cosmologiques de la simplification mathématique faite par Hilbert" que considèrent des physiciens ? Je dis ça car je ne lis pas cela clairement dans le papier d'Antoci, mais je ne comprends pas tout...

Ceci mis à part, il me semble que l'on pourra mettre une section "historique" quelque part, reprenant les principaux éléments sourcés de ce brouillon.

Cordialement. Lylvic (discuter) 5 juillet 2019 à 18:41 (CEST)

 Lylvic : Oui la phrase est sourcée, il s'agit des articles publiés par K.S. Une lecture de ces articles, ou de leur traduction en anglais, permettrait de régler définitivement ce genre de questions.

Concernant la seconde question, la traduction anglaise faite par Antoci du premier article de K.S. contient cette introduction : "Foreword. This fundamental memoir contains the ORIGINAL form of the solution of Schwarzschild’s problem. It is regular in the whole space-time, with the only exception of the origin of the spatial co-ordinates; consequently, it leaves no room for the science fiction of the black holes. (In the centuries of the decline of the Roman Empire people said: “Graecum est, non legitur”...)."

Je pense que c'est assez clair quant à l'analyse qu'à cet astrophysicien italien sur le changement fait par Hilbert et ses conséquences...

Une section historique me parait une très bonne idée.

Cordialement --Zoharius (discuter) 28 juillet 2019 à 18:22 (CEST)

Ajoutez votre contenu à la section historique de l'article, on allègera si nécessaire car il me semble que tous les détails ne sont pas indispensables. Cdt. Lylvic (discuter) 30 juillet 2019 à 08:48 (CEST)

Si cela vous intéresse, voici ce que j'ai trouvé :
« La revue General Relativity and Gravitation a [publié], en [mai] 2003, [une traduction en anglais de] l'article de Schwarzschild [paru en allemand en février 1916]. Dans le même numéro de cette revue, S. Antoci et D.-E. Liebscher ont publié une note éditoriale affirmant que la solution que Schwarzschild a présentée en 1916 ([et] qui décrit le champ gravitationnel généré par une masse ponctuelle) n'est pas équivalente à celle qui est actuellement enseignée dans les manuels sur la relativité générale. Cette dernière est une solution qui a, cependant, été trouvée par J. Droste et D. Hilbert juste un an après la publication de Schwarzschild. Cet événement [la note éditoriale] a abouti à une série d'articles portant sur l'équivalence ou la nature de ces deux solutions. Trois ans après la parution de la note éditoriale d'Antoci et de Liebscher, la même revue a publié un rectificatif [dans lequel son auteur, J. M. M. Senovilla] affirm[e] que les solutions de Schwarzschild et de Hilbert-Droste sont bien équivalentes, en se fondant sur l'existence d'une transformation de coordonnées permettant de réécrire la métrique trouvée à l'origine par Schwarzschild dans les mêmes [formes ou] coordonnées que celles trouvées par Droste et Hilbert. Cette opinion est partagée des auteurs [...]. Cependant, ces derniers auteurs ignor[ent] qu'un espace-temps n'est pas seulement défini par une métrique, mais l'est aussi par la topologie de la variété correspondante. Et en fait, comme nous l'expliquerons en détail plus tard, alors que la variété de Schwarzschild est homéomorphe à ℝ × ]0,∞[ × S², ne laissant aucune place pour un trou noir et dispensant d'une procédure^[pas clair] d'extension maximale, la topologie de la variété de Hilbert-Droste est homéomorphe à ℝ × (]0,∞[–{µ}) x S² (pour certains réels µ > 0), étant par conséquent une solution différente de l'équation d'Einstein. Nous remarquons que cette dernière solution ayant une variété déconnectée, elle nécessite une extension maximale pour devenir un espace-temps satisfaisant^[pas clair]. »
Cordialement, Uxore (discuter) 10 septembre 2019 à 01:14 (CEST)

Merci Uxore. Personnellement, cela ne m'aide en rien, sauf pour bien réaliser que le sujet est récent et mal balisé par les spécialistes. Cela me pousse à dire que l'ajout doit être court et dire que ce sujet n'est pas encore bien cerné par les spécialistes. Cdt Lylvic (discuter) 10 septembre 2019 à 06:55 (CEST)

Personnellement, une note éditoriale dans une revue devrait être répercutée par une note de bas de page dans l'article, ni plus ni moins. Une opinion minoritaire a sa place dans l'encyclopédie mais on doit appliquer le principe de proportion. Mon avis à 2 centimes de piastre. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 12 septembre 2019 à 22:23 (CEST)

Précisions

La formule actuelle est une version simplifiée de celle développée par Karl Schwarzschild dans l'article publié le 13 janvier 1916 qui la rendu célèbre dans monde entier :

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {\alpha }{R}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {\alpha }{R}}\right)^{-1}\mathrm {d} R^{2}-R^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right)$

$\mathrm {R} =\left(r^{3}+\alpha ^{3}\right)^{\frac {1}{3}}$

Scharzschild Original metric formula

note : Ne parvenant pas à trouver la véritable adresse de cette image, je laisse ce lien qui permet au moins de la voir. Cette image provient de l'article wiki republiant le premier article de Schwarzschild avec les outils de rédaction de wiki. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

Second article de Schwarzschild republié avec les outils wiki : Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit

C’est le mathématicien David Hilbert qui rejeta, comme hypothèse de travail nécessaire, l'introduction dans les calculs d'une grandeur intermédiaire R = (r³+α³)^1/3. En le faisant, Schwarzschild avait voulu réduire le domaine de définition de la variable r à l'ensemble ]α;+∞[. Considérant que cette prudence compliquait inutilement les calculs, Hilbert simplifia la formule dans l’hypothèse première où les singularités de la formule n’étaient qu’un artéfact mathématique et n’avait donc aucune conséquence physique puisque de telles conditions ne seraient pas rencontrées dans la réalité :Transforming to the origin the position r=α, like Schwarzschild did, is in my opinion not advisable; moreover Schwarzschild's transformation is not the simplest one, that reaches this scope.

K. Schwarzschild fixa la valeur de cette constante d’intégration α en la liant au rayon d'une sphère à l'intérieur de laquelle un corps, en son centre, exerce une force d'attraction où même la lumière ne peut plus s'échapper localement, soit 2GM/c² via la formule donnant la vitesse de libération. Ce rayon minimal porte aujourd’hui le nom de Rayon de Schwarzschild.

Pour K. Schwarschild, suivant un second article méconnu, publié le 26 février 1916 mais traduit en anglais en décembre 1999, ce rayon constitue une borne mathématique minimale avant une absence de signification physique pour tout objet réel puisque, selon ses calculs, en deçà de cette limite, donc pour un objet de même masse mais plus petit, la matière a une pression infinie. Ce qu'il indiqua en ces termes : Auf dem Wege über diese Lösungen, welche freilich physikalisch bedeutungslos sind, da sie unendlichen Druck im Mittelpunkt ergeben.

Il existe aujourd’hui une controverse relayée par plusieurs astrophysiciens sur les conséquences cosmologiques de la simplification mathématique faite par Hilbert. Salvatore Antoci, traducteur des articles en anglais, y fait explicitement allusion via une publication annexe :

DAVID HILBERT AND THE ORIGIN OF THE "SCHWARZSCHILD SOLUTION"

Fin du brouillon.

--Zoharius (discuter) 29 juin 2019 à 16:17 (CEST)

Précisions sur la controverse: celle-ci n’a pas lieu d’être, un simple examen (de niveau physique-maths de l’ingénieur) des calculs respectifs suffit pour s’en convaincre.

On constate que, sans entrer dans le détail des calculs que l’on supposera exacts dans les deux cas, que tous deux sont basés sur les mêmes bases physiques, dans des développements légèrement variants, dans les détails desquels il n’est pas nécessaire de rentrer.

Le choix de la solution exacte est le suivant : 

Mathématiquement on est dans une intégration d’équation différentielle du deuxième ordre, dont la solution, pour être complète et valable doit remplir deux conditions:

- pour être valable, elle doit être continue dans tout son domaine de validité

- pour être complètement définie, les deux constantes arbitraires, nécessairement présentes dans la solution générale, doivent être déterminées par identification à deux situations déterminées, généralement considérées comme conditions initiales, ou plutôt ici comme conditions aux limites.

Examinons ce qu’il en est pour la première constante :

Les deux utilisent la traduction mathématique de l’exigence physique de retrouver à l'infini un espace plat (de Minkovski), et dimensionné numériquement cohérent avec Newton.

On constate simplement que, quand il exige une valeur unitaire au déterminant de sa matrice de changement d’axes, le calcul de Schwarzschild impose une relation entre les deux constantes, fonction se trouve présenter une discontinuité en un point de la coordonnée radiale.

Pour la seconde :

Schwarzschild, prenant en compte qu'il se trouvait devant une double singularité :

- mathématique : rupture de continuité de sa fonction f1 (composante du déterminant de la matrice), et exprimée par cette relation entre les constantes d’intégration

- physique: à cette même origine le point-masse M ne peut être physiquement décrit en masse volumique dès lors que son extension spatiale est indéterminée par définition.

Son choix, logique, est alors de déterminer sa seconde constante pour que les singularités mathématique (rupture de continuité) et physique se produisent (et donc se neutralisent) au même point, c'est à dire à l'origine, sur le point-masse, ce qui donne une seconde relation entre les constantes et permet de les déterminer.

Hilbert au contraire, dont le calcul n’impose pas cette obligation d’unicité de déterminant de la matrice, se trouve devant la nécessité de fixer une condition arbitraire à l’une de ses fonctions, qu’il ne construit donc pas sur la volonté du respect de la continuité de l’espace-temps, et obtient sans surprise un résultat différent de celui de Schwarzschild, qui montre bien que ce n’est pas le cas, et que s solution est mathématiquement incorrecte.. 

Sur le plan géométrique, on pourrait résumer la chose par le fait que Schwarzschild place, en ce cas, l’espace-temps en symétrie sphérique alors que Hilbert le situe en symétrie centrale.

Il en résulte que, pour Schwarzschild, un point-masse ne saurait exister dans l'espace-temps, celui-ci se situant dans ce cas, reconnu non physique, comme continu et extérieur au rayon de Schwarzschild qui constitue son bord intérieur.

C’est évidemment un choix fondamental pour la communauté des cosmologistes, qui, s’il était reconnu remettrait en cause des pans entiers de cette science. En particulier, si la métrique dite « de Schwarzschild » était reconnue comme étant réellement celle qu’il avait trouvée, cela rendrait vaines toutes les extensions imaginées depuis pour réintroduire l’espace-temps à l’intérieur du rayon de Schwarzschild.

Physiquement, on se rend compte que cela permettrait ainsi de permettre de fixer à la matière une limite à sa compressibilité, ce qui est beaucoup plus facile à imaginer physiquement ? D’ailleurs, la solution interne, que Schwarzschild construisit quelques mois plus tard, donne des indications sur la masse volumique limite de la matière, qui se trouve être d’un ordre de grandeur assez proche de celle attribuée aux étoiles à neutrons.

Fin du brouillon — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Bernardodo (discuter), le 16 mai 2021 à 18:57 (CEST)