Discussion:Groupe quotient

Réorganisation nécessaire

Le contenu des paragraphes "Partition d'un groupe" et "Théorème de Lagrange" de l'article sous-groupe a été déplacé ici, mais il reste à réorganiser l'article pour obtenir quelque chose de cohérent. Ce travail est à faire en lien avec l'article sur le théorème de Lagrange

Yukito 8 mar 2005 à 21:33 (CET)

Demande de fusion

Je propose de fusionner les articles suivants :

• Groupe quotient ;
• Sous-groupe normal ;
• Sous-groupe caractéristique.

Des redirects suffiraient, pourquoi séparer ces trois définitions qui ne constituent qu'un et un seul sujet ? De mon point de vue, on définit les sous-groupes normaux justment pour construire les groupes quotients, et on définit les sous-groupes caractéristiques pour obtenir une transitivité dans les propriétés. J'ai du mal à comprendre la logique de cette séparation en trois.

Ekto - Plastor 13 février 2007 à 09:33 (CET)

J'ai vu que les redirect disparaissaient régulièrement et ils ne remettent pas les liens dans les articles, de plus les liens sur un paragraphe sont plus délicats sachant que quelqu'un pourrait changer le titre d'un paragraphe. Oxyde 13 février 2007 à 11:08 (CET)

Certes, mais on peut fort bien se contenter d'un redirect vers un article ? Ekto - Plastor 13 février 2007 à 14:18 (CET)

Je réponds à ta proposition un peu au débotté ; il me semble qu'il y a trois problématiques très liées, mais à présenter dans des articles séparés pour ne pas mélanger les idées

1. les automorphismes intérieurs / la conjugaison : actuellement on a Action par conjugaison, Sous-groupe normal, Sous-groupe caractéristique qui présentent ce thème de façon éclatée
2. une des utilisations : le quotient de groupe
3. une autre utilisation, très proche : les produits direct, semi-direct

Je verrais donc plutôt un article reprenant toutes les déf qui tournent autour de la conjugaison et des automorphismes intérieurs pour les mettre en perspective Peps 13 février 2007 à 17:06 (CET)

groupe-quotient et création de nouveaux sous-groupes

J'ai tenu à préciser que les groupes-quotient permettaient de créer de nouveaux sous-goupes et non de nouveaux groupes car c'est plus correct et n'induit pas en erreur : on pourrait croire que l'on crée de nouveaux groupes distincts de celui d'origine alors que la loi de groupe est justement stable.--Tv (d) 27 novembre 2007 à 13:57 (CET)

La formulation est ambigüe. Considérons le groupe quotient Z/2Z, quotient du groupe des entiers muni de l'addition par le sous-groupe des entiers pairs, il n'est pas sous-groupe de Z. Il n'est d'ailleurs pas sous-groupe de grand chose.Jean-Luc W (d) 27 novembre 2007 à 16:23 (CET)

La section "Histoire"

J'ai créé une section "Histoire" qui, pour l'instant, est très sommaire : elle dit seulement que Hölder a créé l'expression "quotient des groupes G et H" et qu'il a proposé la notation G|H.

Je ne sais pas si la notion elle-même de groupe quotient est plus ancienne. (D'après l'article de Hölder auquel notre article renvoie, p. 34, je crois comprendre que Jordan n'a pas considéré les groupes quotients dans sa version du théorème de Jordan-Hölder, mais seulement les ordres de ces quotients.) Malheureusement, je ne connais rien à l'histoire des mathématiques. J'espère qu'avec le temps, cette section "Histoire" s'étoffera. Marvoir (d) 29 octobre 2012 à 20:02 (CET) (Revu.) Marvoir (d) 29 octobre 2012 à 20:17 (CET)

Comme je l'ai ajouté dans l'article, Bourbaki dit que la notion de groupe quotient apparaît chez Jordan. Malheureusement, la façon dont Bourbaki organise ses références ne permet pas de savoir à quel passage précis de Jordan il fait allusion.

Cette assertion de Bourbaki peut sembler implicitement contredite par ce passage de H. Wussing : "The absence of the abstract formulation of the group concept, the clinging to the view that the elements of a group must be permutations, barred Jordan from discovering the theorem that asserts the isomorphism of the composition factors of different composition series of the same group - a theorem proved by O. Hölder in 1889 precisely on the basis of an abstract view of the nature of group elements." (H. Wussing, The Genesis of the Abstract Group Concept, p. 143.)

Mais Dirk Schlimm contredit cette façon de voir : "The fact that Jordan, who was working in he framework of substitution groups, was able to prove only a part of this theorem is often used to emphasize the importance and even the necessity of the abstract conception of groups, which was employed by Hölder. However, as a little-known paper from 1873 reveals, Jordan had all the necessary ingredients to prove the Jordan-Hölder theorem at his disposal (namely, composition series, quotient groups, and isomorphisms), and he also noted a connection between composition factors and corresponding quotient groups." (Dirk Schlimm, "On Abstraction and the Importance of Asking the Right Research Questions: Could Jordan Have Proved the Jordan-Hölder Theorem?", Erkenntnis, Vol. 68, No. 3, mai 2008, pp. 409-420, sommaire consultable sur JSTOR.)

Je n'ai pas accès à la totalité de l'article de Schlimm, donc je ne sais pas à quel article de 1873 il fait allusion. Je n'ai pas l'impression que ce soit à celui-ci :

Camille Jordan, Mémoire sur une application de la théorie des substitutions à l'étude des équations différentielles linéaires, Bulletin de la Société Mathématique de France (1873-1874), Volume: 2, Publisher: Société mathématique de France, page 100-127, ISSN: 0037-9484, consultable sur le site NUMDAM.

À creuser, donc. Marvoir (d) 10 décembre 2012 à 12:50 (CET)

(Réponse suite à une discussion sur la lisibilité des articles en maths) :

Bonsoir, en fait la discussion est effectivement difficile. Ce que dit Wussing, c’est que "The absence of the abstract formulation of the group concept, the clinging to the view that the elements of a a group must be permutations, barred Jordan from discovering the theorem that asserts the isomorphism of the composition factors of different composition series of the same group". C’est une formulation un peu brutale (mais le livre date de 1969, c’était une avancée importante à l’époque d’être aussi attentif aux formulations exactes des auteurs), mais ce qu'il veut dire, les groupes considérés à ce moment par Jordan (en 1870, dans le Traité) sont (seulement) des groupes de substitution et qu’il montre pour eux l’existence d’une suite de sous-groupes descendante, telle que les rapports des cardinaux de deux sous-groupes successifs (ce sont donc des nombres) soient uniques à l’ordre près. Il n’est donc pas question là de mettre une structure (de groupe) sur le quotient d’un groupe par un sous-groupe ; Jordan ne "voit" pas autre chose qu’une suite emboitée dont on peut comparer les cardinaux (les facteurs de composition ne sont pas des groupes facteurs ici). Dans les papiers de 1873 (Sur la limite de transitivité des groupes non alternés, et Mémoire sur les groupes primitifs. Bulletin de la Société Mathématique de France, I, 40–71 et 175–221, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=BSMF_1872-1873__1_), il me semble qu’il essaie de mettre en relation, dans des cas particuliers, des éléments d’un groupe et ce que nous avons envie d’appeler des classes quotients. En ce sens, on se dit qu’effectivement, il aurait probablement pu, au moins dans certains cas, comparer les groupes ainsi définis issus de la suite de composition, c’est en ce sens que Schlimm (un philosophe, pas un historien, d’ailleurs) dit que pour lui ce n’est pas un problème d’abstraction et d’outii disponible, mais de bonne question à poser. Je ne crois pas que Wussing aurait été en désaccord fondamental (il n’insiste pas tant sur l’abstrait en tant que solution systématique de tout problème que sur la question des choses qui deviennent naturelles à faire dans un nouveau cadre théorique), ce qui l’intéressait était plutôt de remarquer que Jordan n’a Pas défini de structures quotients pour ses suites de composition, qu’il n’est pas dans un cadre où on met des structures de groupes sur tout ce qui nous tombe sous la main. J’ajoute qu’en 1881, Jordan présentait toujours cela comme en 1870 (preuve supplémentaire, que même avec les papiers de 1873, on n’a pas de groupes quotients très conscients chez lui), tu peux regarder sa notice sur travaux qui est en ligne (chez les médecins !?, http://www2.biusante.parisdescartes.fr/livanc/?cote=110133x013x24&do=pdf). Il y a d’autres articles qui discutent de l’histoire de la notion de groupes quotients, c’est vraiment compliqué (un bon exemple qu’une section historique dans un article de maths ne va pas forcément aider à clarifier !). Bien amicalement, --Cgolds (d) 25 janvier 2013 à 00:01 (CET)

Question moyennement pertinente sur le "monoïde de l'ensemble des parties"

Bonjour,
J'étudie pas mal l'algèbre ultra-basique en ce moment (seul avec des bouquins et wikipédia). Je suis venu vers cet article en me posant deux questions concernant des conventions, mais je n'ai rien trouvé là-dessus. La première ayant un lien assez direct avec les groupes quotients (concerne des monoïdes qui les contiennent quand ils existent). Et la seconde concerne plutôt les noms utilisés pour les magmas stables à l'intérieur d'un autre magma, elle a un vague rapport avec la première question.

• Monoïde de l'ensemble des parties d'un groupe: Considérons un groupe $\left(G,\cdot ,e\right)$
  On nomme ${\mathcal {P}}(G)$ l'ensemble des parties de G, et on définit une loi de composition interne sur ${\mathcal {P}}(G)$ à partir de '$\cdot$' de cette manière: $\forall (A,B)\in {\mathcal {P}}(G))^{2}{\text{ }}A\cdot B=\{xy,(x,y)\in A\times B\}$.
  Je vous laisse vous convaincre que $\left({\mathcal {P}}(G),\cdot ,\{e\}\right)$ est un monoïde (il est associatif et $\{e\}$ est son élément simplement neutre). On remarquera que lorsque G contient un sous groupe distingué H, on peut définir le groupe quotient G/H qui est contenu dans le monoïde précédemment défini.
  La première question est: comment on appelle conventionnellement ce "monoïde de l'ensemble des parties du groupe"? Que j'ai définie par $\left({\mathcal {P}}(G),\cdot ,\{e\}\right)$, la convention me semble importante, parce qu'on pourrait le confondre avec le magma unifère (pas nécessairement associatif, prenez le cas du groupe des quaternions et montrez qu'il n'est pas alternatif pour vous en convaincre) $\left({\mathcal {P}}(G),*,\{e\}\right)$, avec * défini par $A*B=A\cdot B\cup B\cdot A$ (ce qui est sans conséquence si (G,.) est abélien, un peu plus sinon).
• Groupe contenu dans un magma quelconque Ici on a G/H un groupe contenu dans $\left({\mathcal {P}}(G),\cdot ,\{e\}\right)$, on ne peut pas parler ici de sous-groupe. On peut parler de sous-groupe dans un groupe (et peut-être dans un quasigroupe unifère) notamment parce qu'on ne risque alors pas de se tromper sur l'élément neutre du sous-groupe (et dans G/H, c'est H, et ce n'est pas super intéressant de ne s'occuper que du cas $H=\{e\}$).
  D'où la question A-t-on un nom pour désigner un groupe (éventuellement un monoïde ou autre) contenu dans un magma un peu plus quelconque?

Si je me suis permis de poser ces question ici, c'est parce que la notion de "monoïde d'ensemble des parties du groupe" me paraît a priori assez intéressante (je n'ai pas encore étudié les mixtes algèbre/topo, mais je suppose que ce genre de notion peut y être assez féconde) et je suis assez surpris qu'on n'y fasse pas référence dans cet article.

--Un autre type (discuter) 18 avril 2018 à 14:37 (CEST)

Propriétés

Dans le paragraphe Propriétés figure l'assertion

Plus généralement, si f : G → G' est un morphisme de groupes, il existe une suite exacte : G → G'→ G'/Imf → 1.

Elle me paraît un peu risquée dans la mesure où on se demande dans quelle catégorie elle est écrite : G'/Im f n'a aucune raison d'être un groupe (par exemple, si f est l'injection canonique d'un sous-groupe non distingué. JC.Raoult (discuter) 13 février 2023 à 11:46 (CET)