Discussion:Sous-groupe de Frattini
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« Extension de Frattini » et « facteur de Frattini » et « sous-ensemble de Frattini »[modifier le code]
(en) Eric W. Weisstein, « Frattini Extension », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Frattini Factor », sur MathWorld
(en) « Frattini subset », sur PlanetMath
Je dépose ça ici à tout hasard, mais aucune idée si ces termes et/ou ces liens externes sont à insérer dans l'article. Anne Bauval (d) 14 août 2011 à 21:44 (CEST)
De type fini[modifier le code]
Est-ce que si G est de type fini alors Φ(G) aussi ? Anne (d) 23 novembre 2012 à 23:09 (CET) (Si je demande ça c'est parce que j'ai des doutes sur la phrase « If G is a finitely generated group and Φ(G) is the Frattini subgroup of G then rank(G) = rank(G/Φ(G)) » de l'article en anglais sur le rang d'un groupe que je suis en train de traduire)
- Je t'avoue que je ne connais pas la question, mais d'après l'"abstract" de : Evans, M. J., Two-generator groups with perfect Frattini subgroups, Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987), no. 1, 25–28, tout groupe dénombrable peut être plongé dans le sous-groupe de Frattini d'un groupe engendré par deux éléments. Voir la première page de l'article ici. Donc, si je comprends bien, le sous-groupe de Frattini d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini. Marvoir (d) 24 novembre 2012 à 15:17 (CET)
- Voici un autre argument. D'après D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 1996, partiellement consultable sur Google Livres, p. 477, énoncé 15.5.4 : "Suppose that G is a group whose Frattini subgroup is finitely generated. Then Frat G is nilpotent if and only if it is soluble."
- Maintenant, d'après l'introduction de l'article de Evans (lien plus haut), P. Hall a construit des groupes résolubles à deux générateurs (et donc de type fini) dont les sous-groupes de Frattini ne sont pas nilpotents. Les sous-groupes de Frattini en question sont résolubles et non nilpotents, donc d'après l'énoncé de Robinson, ils ne sont pas de type fini. Marvoir (d) 24 novembre 2012 à 15:47 (CET)
- Je ne comprends pas ton premier argument, mais merci pour le second. Et que penses-tu de la phrase en anglais dont je doute ? Anne (d) 24 novembre 2012 à 22:47 (CET)
- Tu as raison, le premier argument est mal formulé. J'aurais plutôt dû alléguer le théorème 1.1 de l'article d'Evans. Quant à la phrase anglaise dont tu doutes, elle me semble correcte. Il me semble qu'elle résulte de l'énoncé suivant : "Suppose G is a group, and the Frattini subgroup of G is a finitely generated group. Then, a subset S of G is a generating set for G if and only if the image of S in the Frattini quotient G/Φ(G) under the quotient map, generates G/Φ(G)." (Voir ce site.) Voici une démonstration de cet énoncé : l'essentiel est de prouver que si l'image de S dans le quotient engendre le quotient, alors S engendre G. Si <S> désigne le sous-groupe de G engendré par l'ensemble S, alors, vu les hypothèses, <S> Φ(G) = G. Puisque Φ(G) est supposé de type fini, ceci entraîne <S> = G (voir la seconde des "propriétés du sous-groupe de Frattini" dans notre article). Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 09:30 (CET)
- Ok en utilisant le théorème 1.1 (son "direct product" ne serait pas dénombrable, je suppose qu'il veut dire "direct sum").
- Ok avec le site et la démo, qui m'avaient poussée, lors de ma traduction, à « rectifier » la phrase anglaise. Celle-ci suppose G de type fini au lieu de Φ(G). J'ai laissé, dans la traduc, leur référence (sans indication de page) mais n'y ai trouvé ni la version douteuse, ni la version « rectifiée » (peut-être p. 477, non accessible sur GoogleLivres). Anne (d) 25 novembre 2012 à 10:22 (CET)
- J'avais lu trop vite la phrase anglaise. La justification que j'ai donnée fonctionne dans le cas où Φ(G) est de type fini, mais je crois que l'énoncé est vrai aussi si on suppose que G est de type fini au lieu de supposer que Φ(G) est de type fini. En effet, la seconde propriété du sous-groupe de Frattini donnée dans notre article est vraie aussi si on remplace l'hyothèse "Φ(G) est de type fini" par "G est de type fini". (C'est assez curieux, parce que, si je comprends bien, les deux hypothèses "G est de type fini" et "Φ(G) est de type fini" sont indépendantes.) Je vais rédiger une démonstration et je la posterai dès qu'elle sera rédigée. Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 10:45 (CET)
- Voilà. J'ai ajouté l'autre version de la seconde propriété. Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 11:09 (CET)
- J'avais lu trop vite la phrase anglaise. La justification que j'ai donnée fonctionne dans le cas où Φ(G) est de type fini, mais je crois que l'énoncé est vrai aussi si on suppose que G est de type fini au lieu de supposer que Φ(G) est de type fini. En effet, la seconde propriété du sous-groupe de Frattini donnée dans notre article est vraie aussi si on remplace l'hyothèse "Φ(G) est de type fini" par "G est de type fini". (C'est assez curieux, parce que, si je comprends bien, les deux hypothèses "G est de type fini" et "Φ(G) est de type fini" sont indépendantes.) Je vais rédiger une démonstration et je la posterai dès qu'elle sera rédigée. Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 10:45 (CET)
- Tu as raison, le premier argument est mal formulé. J'aurais plutôt dû alléguer le théorème 1.1 de l'article d'Evans. Quant à la phrase anglaise dont tu doutes, elle me semble correcte. Il me semble qu'elle résulte de l'énoncé suivant : "Suppose G is a group, and the Frattini subgroup of G is a finitely generated group. Then, a subset S of G is a generating set for G if and only if the image of S in the Frattini quotient G/Φ(G) under the quotient map, generates G/Φ(G)." (Voir ce site.) Voici une démonstration de cet énoncé : l'essentiel est de prouver que si l'image de S dans le quotient engendre le quotient, alors S engendre G. Si <S> désigne le sous-groupe de G engendré par l'ensemble S, alors, vu les hypothèses, <S> Φ(G) = G. Puisque Φ(G) est supposé de type fini, ceci entraîne <S> = G (voir la seconde des "propriétés du sous-groupe de Frattini" dans notre article). Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 09:30 (CET)
- Je ne comprends pas ton premier argument, mais merci pour le second. Et que penses-tu de la phrase en anglais dont je doute ? Anne (d) 24 novembre 2012 à 22:47 (CET)
Théorème de Frattini[modifier le code]
Dans un diff, Anne pose cette question : "ma réf Huppert serait peut-être mieux placé là-bas ?", c'est-à-dire dans l'article Théorème de Frattini. Elle serait bien placée là, en effet, mais il ne serait peut-être pas bien grave qu'on la garde ici aussi. Par parenthèse, j'ai été heureux d'apprendre que l'important livre de Huppert a été réédité en 2013. J'avais été déçu de m'entendre dire avant cela qu'il était épuisé. Marvoir (discuter) 21 juin 2016 à 11:26
- Zut, j'ai oublié le E à "placé" (et un commentaire de diff n'est pas modifiable). Je te laisse faire parce que je ne sais pas où la placer exactement, parce que l'énoncé Φ(G) = G'Gp donné ici et dans Huppert est plus précis. Anne, 11 h 54
- Sincèrement, je préfère que tu fasses à ton idée, vu que tu as les mains dans le cambouis et que, ces temps-ci, ce n'est pas mon cas. N'aie pas peur d'améliorer l'article Théorème de Frattini, il n'y a pas de raison de ne pas l'englober dans le gros travail d'amélioration que tu es en train de faire ! Marvoir (discuter) 21 juin 2016 à 12:01 (CEST)