Discussion:Primalité dans un anneau

Dans la version de janvier 2008

Le théorème 3 affirme que dans un anneau de Gauss il y a équivalence entre éléments premiers entre eux et éléments indissolubles. Si dans un sens c'est évident, est-ce bien exact aussi dans l'autre ("2 éléments premiers entre eux sont indissolubles entre eux") ?? Bien évidemment c'est vrai dans un anneau factoriel, mais dans le cas général ? Le cas échéant, il serait intéressant d'avoir une démonstration. Pierre Duceux 11 janvier 2008 à 22:26‎ Pduceux (d · c · b)

Réponse si pgcd(a,b)=1 et a divise bc, soit d le pgcd de ac et bc ;

c divise ac et bc, donc c divise d : d=kc

on a ac= qd = qkc, et bc = q'd= q' kc

donc a = q k et b=q'k donc k est une unité et d divise c

Or a divise bc et ac, donc il divise d, donc c : le théorème de gauss est vrai (c'est pour cela que ça s'appelle un anneau de Gauss !)

--Robert FERREOL (d) 13 janvier 2008 à 20:58 (CET)

A noter que l'implication ac=qkc => a=qk n'est valable que si l'anneau est intègre.

La propriété est donc établie dans le cas d'un anneau intègre à pgcd. Celastus (discuter) 27 février 2022 à 19:32 (CET)

Réciproque fausse

Dans l'article "The Schreier Property and Gauss’ Lemma" de D. D. Anderson et M. Zafrullah, il est prouvé que la propriété d'être un anneau de Gauss est plus forte que la propriété appelée "atoms are prime", aussi la réciproque est fausse dans le cas général. Elle est par contre valide pour les anneaux atomiques.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 193.50.42.52 (discuter), le 25 novembre 2014 à 10:27‎.

La réciproque dont il s'agissait ci-dessus en 2008 (énoncé dans l'article dès 2006 et encore aujourd'hui) est vraie : dans un anneau (commutatif et intègre) de Gauss, c'est-à-dire à PGCD, le lemme de Gauss est vérifié, « donc_{(en fait c'est la même chose)} » "premiers entre eux" et "indissolubles entre eux" sont bien équivalents. Évidemment, cette équivalence entre "premiers entre eux" et "indissolubles entre eux" implique l'équivalence (AP) entre "irréductible" et "premier". Donc tout anneau à PGCD vérifie AP. Anderson et Zafrullah montrent (entre autres !) que la réciproque de cette implication-là est fausse : un anneau vérifiant AP n'est pas forcément à PGCD, ce qui était probablement connu bien avant eux.

Je n'ai pas regardé en détail donc je ne sais pas s'ils montrent même : « un anneau vérifiant AP ne vérifie pas forcément le lemme de Gauss », ce qui est a priori plus fort. Je ne sais même pas si c'est vraiment plus fort.

Anne 25/11/14 20h45

Anneau intègre ou non ?

La notion d'élément **irréductible** est définie ici pour un anneau intègre. Or dans le cas des polynômes, la notion d'irréductibilité est donnée pour les polynômes sur un anneu seulement commutatif.

Mais si A n'est pas intègre, A[X] ne l'est pas non plus. Donc la définition dans le cas des polynômes est un tout petit peu plus large que celle donnée ici.

Pourquoi ?

Laurent.Claessens (discuter) 4 novembre 2017 à 21:13 (CET)

Je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'être dans un anneauu intègre pour parler l'élement premier ou d'élément irréductible.

De plus, certaines propriétés ne sont vraies que si l'anneau est intègre. Par exemple dans un anneau intègre, tout élément premier est irréductible. Dans un anneau intègre, p est irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs sont les inversibles et les éléments associés à p. Ces propriétés sont fausses en général.

Généraliser les notions à tout anneau commutatif permettrait de mieux voir à quel moment et pour quelles propriétés il est nécessaire que l'anneau soit intègre.

Celastus (discuter) 3 avril 2021 à 00:23 (CEST)

Réponse à la remarque de Celastus le 27/2/2022 à 19 h 32 (à la fin du § « Dans la version de janvier 2008 » ci-dessus)

Bin oui, et même le sens « évident » n'est vrai que dans un anneau intègre. J'étais déjà d'accord avec la réponse de HB en septembre dernier ci-dessous dans #Anneau intègre ?, mais je le suis encore plus après les discussions des 26 et 27/2 dans #Vocabulaire : cet article est déjà suffisamment problématique en se limitant au cas intègre. Sans compter que (cf. le contre-exemple donné le 25/2 dans Discussion:Anneau de Bézout#Propriétés) en l'absence d'intégrité, les variantes de définitions données pour chaque notion dans cet article ne sont plus toutes équivalentes (y compris, justement pour la notion d'éléments indissolubles).

Anne 28/2/2022 à 0 h 20

Sans l'intégrité, on ne peut presque rien faire. Dans un anneau commutatif unifère, on peut prouver que :

- tout élément extrémal est premier

- si deux éléments a et b sont fortement premiers entre eux (i.e. on a une relation de Bézout au+bv=1) alors ils sont premiers entre eux (1 est un pgcd) et ils sont premiers entre eux au sens de Gauss (dans les deux sens, voir ci dessous).

Pour les définitions, il faut faire attention à la définition (déjà problématique car non sourcée) de premiers au sens de gauss : dans un anneau non intègre, il n'y a pas a priori d'équivalence entre : $\forall c,a|bc\Rightarrow a|b$ et $\forall c,b|ac\Rightarrow b|a$. Dans le cas intègre, ces deux propositions sont équivalentes au fait que ab est un ppcm de a et b. Le document de Perrin https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Sevres/pgcd-ppcm.pdf est très fertile à ce sujet.

EDIT : il y a une autre différence importante : dans un anneau commutatif, il n'y a pas d'équivalence entre "a et b sont associés (i.e. $a|b$ et $b|a$)" et "a et b sont égaux à un inversible près (i.e. $\exists u\in A^{\times },au=b$)

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par ‎Celastus (discuter), le 28/2/2022 à 0 h 56.

Anneau intègre ?

Bonjour, je pense que l'article pourrait être remanié sans imposer que l'anneau soit intègre. Cela me parait assez important, en particulier pour définir les élements premiers et les éléments irréductibles.

Une des seules modifications importantes serait la définition de "premier au sens de Gauss". Il faudrait que a et b soient premiers au sens de Gauss si

si a divise bx alors a divise x et si b divise ax alors b divise x.

SI A est intègre, c'est bien sur une définition équivalente à celle de l'article, et au fait que PPCM(a,b)=ab. On pourrait montrer que si a=0, a et b sont premiers entre eux si et seulement si a et b sont premiers au sens de Gauss si et seulement si a et b sont fortement premiers entre eux si et seulement si b est inversible.

Au passage, je trouve cette notion de "premier au sens de Gauss" très intéressante, mais je ne l'ai retrouvé dans aucun de mes livres. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Celastus (discuter), le 18 juin 2021 à 10:18 (CEST)

Réponse tardive : remanier un tel article en supprimant la condition d'intégrité me parait éminemment dangereux et ne peut se faire qu'avec des sources solides. Déjà, comme tu le signales, il faudrait revoir la def de "premier au sens de Gauss". Ensuite, il faudrait vérifier une à une les propriétés pour voir si elles sont ou non conservées quand on supprime la propriété d'intégrité. Bref. Peu judicieux actuellement vu déjà la faiblesse des sources. HB (discuter) 3 septembre 2021 à 08:41 (CEST)

Vocabulaire

Je pense que notre article est extrêmement imprudent concernant le vocabulaire dans un domaine où celui-ci me parait très fluctuant

• Je pense que l'on peut de confiance, au vu des sources, considérer comme acquises les notions d'élément irréductible et élément premier
• Concernant les notions de premiers entre eux, Szpirglas pose bien la problématique à partir des entiers indiquant qu'il existe des définitions équivalentes pour les entiers
  • par le ppcm
  • par le lemme de Gauss
  • par l'identité de Bézout

  et choisit (ce n'est donc pas universel mais un choix personnel) de le définir à l'aide d'une notion ne faisant pas référence au pgcd (même si elle lui est équivalente) : les seuls diviseurs communs à a et b sont les inversibles

• concernant le terme indissoluble, je n'ai trouvé aucune source, ni pour celui de premier entre eux au sens de Gauss. Cela correspond à la problématique mais ne semble pas avoir donné lieu à un vocabulaire spécial
• concernant la notion d'éléments étrangers on a Bourbaki (algèbre chap. VI 12. Def 5) et Escoffier mais on trouve la même notion sous le nom de comaximaux chez Szpirglas p.477 (seulement pour les idéaux) et ce document
• Concernant le terme d'extremal, c'est encore plus embêtant car il n'y a aucune source et les seules sources consultables (Bourbaki (algèbre chap. VI 13. Def 6) et Escoffier donnent une autre définition du terme

C'est dommage, la problématique est intéressante : il y a des notions qui sont confondues dans Z mais qui sont différentes si l'anneau n'a pas les bonnes propriétés. Mais est-ce vraiment nécessaire de donner des noms à ces notions? Je notifie @Robert FERREOL qui pourra peut-être nous éclairer. HB (discuter) 26 février 2022 à 17:46 (CET)

C'est une leçon d'agreg que j'ai réalisée il y a quarante ans et qui avait été appréciée...

je suis d'accord que p est "truc" ssi il est "machin " avec tout élément qu'il ne divise pas n'est pas la première définition des éléments trucs, mais c'est la seule définition qui est commune aux trois notions.

En général c'est plutôt une cns donnée en dernier comme dans : https://www.dropbox.com/s/pib0p8i4wx34wkf/Image1.gif?dl=0

(claude Mutafian, le défi algébrique tome 1 Vuibert 1975) Robert FERREOL (discuter) 26 février 2022 à 20:02 (CET)

Bon, pour ma part je déclare forfait pour de multiples raisons que je vais tenter d'expliquer

1. Le plan actuel : Robert, ce plan est un choix rédactionnel qui offre certes un éclairage intéressant par ce parallélisme mais ne correspond à aucun éclairage dans les ouvrages que je peux consulter(voir point 4). En règle général, dans mes sources (voir point 4) l'accent est porté assez rapidement sur les idéaux et leur propriétés
2. Vocabulaire Ce plan t'oblige à donner des noms à notions (indissolubilité - primalité selon Gauss) que l'on trouve nulle part ailleurs, ou bien à leur donner un nom qui correspond à un autre objet dans les sources.
3. Définitions et domaine d'étude fluctuants Selon mes sources (voir point 4)
   1. la notion d'élément irréductible peut être défini sur un anneau commutatif unitaire non nécessairement intègre (Szpirglas, p.469 - Mutafian, p. 206)
   2. Idem pour la notion d'élément premier (Szpirglas, p.488)
   3. Les conditions «non inversible» ou «non nul» sont parfois omis : non inversible dans Mutafian p. 207 et non nul dans Szpirglas,p. 469 et p. 488 (pour la def choisi de l'irréductibilité (n'est pas le produit de deux non inversibles) c'est OK mais pour la définition des nombres premiers Szpirglas n'exclut pas 0 et utilise «(0) est un idéal premier» comme caractérisation des anneaux intègres)
   4. Je trouve même des auteurs (Chambadal , Dictionnaire des mathématiques modernes - Mac Lane et Birkhoff, Algèbre, T1, p.171) qui confondent la notion de premier et d'irréductible : « si b est non nul, ne possède pas de diviseur propre et n'est pas inversible alors il est un élément premier » Mc Lane, p.71
4. Faible nombre de sources accessibles Mes sources accessibles sont trop limitées pour que je puisse faire une recension sérieuse du vocabulaire choisi et des conditions imposées

Bref, je vous abandonne l'article. HB (discuter) 27 février 2022 à 09:55 (CET)

Il n'y a pas vraiment de solution optimale, il faudrait faire des choix tout en expliquant qu'il y a plusieurs écoles, références à la clef. Malgré tout cet article est très clair et il m'a beaucoup aidé, je tiens à en remercier les auteurs. J'ai fait un schéma qui pourrait éclairer la communauté :

https://img.super-h.fr/images/7f235d7a325c48b8539105bfc9f1dce6.jpg Celastus (discuter) 27 février 2022 à 11:55 (CET)

(conflit d'édit) À propos du point 3.3 de HB (non nul et non inversible) :

• l'omission (non systématique) de « non inversible » par Mutafian p. 206-207 est manifestement une simple étourderie (vu les incohérences qu'elle engendre) ;
• je n'ai pas accès à Szpirglas mais je suis surprise qu'elle considère que 0 (égal à son carré) est premier. En tous cas, « (0) est un idéal premier si et seulement si A est intègre » est standard. C'est pourquoi Escofier impose aux éléments premiers d'être non nuls en plus d'engendrer un idéal premier.

Anne 27/2, 12 h 14

Szpirglas, p.489 (parmi les exemples) « Les éléments premiers de Z sont les nombres premiers (heureusement) et zéro ». A nous vous donc de faire un bon choix avec des sources cohérentes sans étourderie et sans définition exotique. HB (discuter) 27 février 2022 à 12:27 (CET)

Mutafian (Le défi algébrique) n'est décidément pas fiable. Dans son tome 2 (Vuibert 1976), p. 176-177, il décide lui aussi que p est premier si (et seulement si) (p) est premier, donc que 0 est premier si (et seulement si) A est intègre.

Pire : pour lui (t. 2 p. 176) « Un élément inversible est premier » (!), puisque (t. 2 p. 170) « un idéal premier est un idéal tel que l'anneau quotient soit intègre » (ok) donc « Il est clair que l'anneau est un idéal premier » (!) donc il sous-entend que l'anneau nul est intégre (!), ce qui ne l'empêche pas (!!) d'énoncer (t. 2 p. 6) « tout anneau intègre fini est un corps » et « un corps a au moins deux éléments distincts, 0 et e ».

Du coup (t. 2 p. 176-177) il invente l'appellation « premiers propres » pour ceux de ses premiers qui sont non nuls et non inversibles, pour pouvoir dire que « dans un anneau intègre, premier propre ⇒ irréductible ».

Anne 27/2, 14 h 45

Bonjour,

pour le problème de l'appellation indissoluble, je suis sûr que ce n'est pas moi qui l'ai inventée, mais ça date d'il y a 40 ans et je ne m'en souviens plus... par contre pour "premier au sens de gauss", c'est moi, mais ça me semble plus parlant qu'indissoluble...

On ne trouvera pas de texte en anglais correspondants puisque pour les anglophones, le théorème de Gauss est le lemme d'Euclide : en:Euclid's lemma.

Robert FERREOL (discuter) 27 février 2022 à 15:03 (CET)