Discussion:Espace paracompact

Critère de métrisabilité

Je soupçonne que le théorème de métrisabilité de Smirnov cité dans cet article ainsi que dans Espace métrique#Espaces métrisables peut se déduire du Critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov. D'après la ref ici, il a en effet lui aussi été démontré par Smirnov en 1951. Anne Bauval (d) 15 juin 2010 à 21:01 (CEST)

Je confirme ce soupçon :) Si un espace est localement métrisable, on peut obtenir une base σ-localement finie de la façon suivante : on recouvre l'espace par des "boules locales" de rayon fixé 1/n (boules pour les métriques locales), on prend un raffinement localement fini de ce recouvrement (paracompacité), et on fait tout cela pour n tendant vers l'infini. On conclut à la métrisabilité par Nagata-Smirnov. L'autre implication provient des propriétés des espaces réguliers (et paracompacts), puisque paracompact + séparé => (normal =>) régulier.

Pour répondre à votre demande, je n'ai pas vu d'autres articles parlant spécifiquement de ce théorème. Il faut dire que mis à part l'exemple que j'ai donné (variétés paracompactes), je n'ai jamais vu ce théorème employé (en clair : c'est quasiment du sur mesure pour montrer qu'une variété paracompacte est métrisable). A mon avis, il n'a sa place qu'à deux autres endroits : un article sur les variétés, ou un article général sur les théorèmes de métrisabilité (ou à défaut les espaces métriques comme ici).

Groupoid Kid (d) 9 août 2010 à 16:27 (CEST)

Fait, dans Critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov. Anne (discuter) 6 février 2014 à 18:53 (CET)

Partitions de l'unité

Je trouve dommage qu'il ne soit pas fait mention de l'existence de partitions de l'unité sur les espaces paracompacts. C'est probablement la seule raison d'être de ces espaces ! Est-ce trop technique ? Je viens de voir que nos amis anglais, russes, espagnols... en parlent dans leur wiki, mais pas les Allemands, ni les Portugais, les Italiens... Groupoid Kid (d) 9 août 2010 à 16:27 (CEST)

Séparation

Attention à cet article franco-franchouillard : à l'instar de la compacité, paracompact ne suppose pas séparé dans le reste du monde. Groupoid Kid (d) 9 août 2010 à 16:27 (CEST)

Bonjour, il faut rappeler que la notion de paracompacité a été introduite par Jean Dieudonné et popularisée par Bourbaki ensuite. L'hypothèse de séparation est reprise par tous les ouvrages français et aussi par d'autres en anglais (exemple : Dugundji : General Topology), donc suivre la définition « française » n'est pas une volonté de se distinguer des autres. D'autre part, sans séparation, on perd la plupart des théorèmes sur les espaces localement compacts ou paracompacts. Mettre la séparation, outre que c'est la convention de Bourbaki, cela évite de répéter dans beaucoup d'énoncés (sur les espaces normaux, métrisables, etc...) : soit X un espace paracompact séparé, un espace localement compact séparé. Les espaces « localement compacts non séparés » ou « paracompacts non séparés » n'ont aucune application, car les théorèmes qui sont intéressants n'existent plus.--Cbigorgne (d) 9 août 2010 à 18:16 (CEST)

Je vous trouve bien péremptoire dans votre jugement. Juste réponse à ma remarque qui l'était tout autant, sans doute ^^ Pour avoir manipulé des variétés non séparées pendant plusieurs années, je crois pouvoir dire que les espaces localement compacts / paracompacts non séparés sont utiles, ou à défaut utilisés. Il ne s'agit pas d'une simple marotte, les variétés non séparées sont parfois incontournables, et apparaissent naturellement dans certains problèmes (difficiles, j'en conviens). Groupoid Kid (d) 11 août 2010 à 23:14 (CEST)

Bonjour, je suis d'accord que les variétés non séparées peuvent apparaître naturellement. Je disais simplement que les ouvrages de topologie en français que je connais utilisent tous la convention de Bourbaki et mettent la séparation dans la définition des espaces compacts, localement compacts et paracompacts. Certains ouvrages en anglais comme le Dugundji reprennent cette définition.--Cbigorgne (d) 12 août 2010 à 10:59 (CEST)