Discussion:Conjecture de Legendre

Je ne comprends pas

Je ne comprends pas cette phrase: « Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'un nombre premier ou semi-premier vérifiait toujours la conjecture de Legendre ». --Pierre de Lyon (d) 25 octobre 2009 à 16:01 (CET)

Peut être a t-il démontré qu'il existe un nombre premier compris strictement entre n² et (n+1)² dès lors que n est (semi-)premier. Et si ce n'est pas ça, la formulation est à changer. Zandr4^[Moa ?] 31 octobre 2009 à 16:17 (CET)

Il faut comprendre ainsi: entre n et (n+1)² il existe au moins un entier q qui est premier ou qui est un nombre semi-premier, sans qu'on puisse affirmer actuellement que c'est toujours un nombre premier.Claude le pénible (d) 16 novembre 2009 à 05:12 (CET)

Suppression d’une section confuse et insuffisamment sourcée

Wikipédia n’est pas un blog de discussion, et j’ai donc supprimé la section « intuition sur l’argument asymptotique », qui reposait sur un TI, sur un article d’Arxiv qui n’a jamais été publié ailleurs (écrit dans un anglais qui ferait pâlir de jalousie une vache espagnole), et sur des considérations personnelles de plus en plus confuses. Je rappelle qu’Arxiv, n’ayant pas de comité de lecture, n’est pas considérée comme une source fiable par Wikipédia (le fait, pour autant qu’il soit avéré, que l’OEIS l'accepte comme source, ne procure aucune légitimité supplémentaire à Arxiv puisque l’OEIS fonctionne elle même sur le principe du Wiki). Pour qu’un argument heuristique devienne admissible dans cet article, il faut impérativement qu’il repose directement sur un argument très similaire publié dans une revue mathématique (ou dans un manuel de théorie des nombres) à comité de lecture. --Sapphorain (discuter) 22 juillet 2022 à 00:49 (CEST)

Cela répond effectivement à mes interrogations (et pour l'article d'Arxiv, c'est vrai que c'est très mal rédigé même si cela n'est pas forcément le signe d'une mauvaise qualité mathématique). Je ferai plus attention à l'avenir. Dans tous les cas, cet article méritait un bon nettoyage. Vertrial (discuter) 24 juillet 2022 à 12:50 (CEST)

Autre suppression

J’ai supprimé l’assertion « le théorème des nombres premiers suggère que (*) le nombre réel de nombres premiers entre n^2 et (n+1)^2 est de l’ordre de n/log n » (suivie de la conclusion «  Comme ce nombre est grand pour n grand, cela rend crédible la conjecture de Legendre »), qui me semble parfaitement inappropriée dans l'état, même avec un modèle refnec.

En effet, tout ce que nous avons vu jusqu’à présent (dans le TI et le fichier Arxiv du paragraphe récemment supprimé par moi-même) sont des utilisations plus ou moins sophistiquées du principe des tiroirs, qui permettent uniquement de montrer que (*) est vraie sur une suite infinie indéterminée d’entiers n. En théorie des nombres, invoquer un si mince résultat pour suggérer qu’une propriété reste vraie partout n’est pas un argument heuristique, mais procède plutôt d’un optimisme excessif.

(D’autre part, mais cela est secondaire, la «crédibilité» qui est alors supposément apportée à la conjecture de Legendre repose sur le fait que n/logn devient grand (donc au moins 1). Or à cet égard, les mêmes arguments exploitant le principe des tiroirs pourraient être appliqués à des estimations beaucoup plus élémentaires que le théorème des nombres premiers pour en tirer la conclusion que le nombre de nombres premiers entre n^2 et (n+1)^2 est tout simplement positif pour une suite infinie d’entiers n, ce qui fournirait exactement la même prétendue « crédibilité » à la conjecture de Legendre).

Les résultats partiels mentionnés par l’article sont largement suffisants pour servir d’arguments heuristiques.--Sapphorain (discuter) 25 juillet 2022 à 00:22 (CEST)

J'ai remis ce paragraphe pour plusieurs raisons. Déjà, pour répondre aux objections ci-dessus :

_ C'est en fait une application de Stolz-Cesàro, mais oui c'est effectivement un peu trop optimiste tout seul. Je voulais surtout montrer que ça ne sortait pas de nulle part, mais c'était maladroit. De toute façon, comme c'était un TI, c'était irrecevable.

_ Pour ce qui est de la crédibilité, l'argument réside dans le fait que le nombre est censé devenir de plus en plus grand (ce qui se vérifie expérimentalement), ce qui rend improbable le fait qu'il devienne nul à un moment donné (il faudrait une sorte d'effrondement, cf. plus bas avec les sources car ce n'est pas que moi qui le pense). Ce n'est donc pas la même chose que fournir une inégalité du type > 0.

_ Ce paragraphe n'a pas vraiment vocation à fournir un argument heuristique à la conjecture, mais bien d'exposer un pan entier de la recherche sur le sujet (estimation asymptotique des intervalles courts, même si ceux-ci ne sont pas mentionnés) qui est relié à la conjecture de Legendre. C'est pour cela d'ailleurs que sa place n'est pas dans les résultats partiels.

Bien, maintenant que c'est fait, on va maintenant parler des sources pour l'autre ignorante aux exigences absurdes :

_ Bazzanella dans son article datant de 2000 conjecture que psi((n+1)^2) - psi(n^2) est équivalent à 2n (avec psi la seconde fonction de Tchebychev) et montre que c'est vrai pour presque tout n. Cette fonction de Tchebychev est communément (et historiquement) utilisée à la place de la fonction de compte car elle est plus facile à manipuler. Le lien entre les deux suffit pour montrer que démontrer ce résultat équivaut à montrer que le nombre de nombres premiers dans (n^2, (n+1)^2) est celui attendu avec l'estimation du TNP. Bazzanella ne le mentionne pas car c'est une évidence qui n'a pas sa place dans un article de recherche, mais il parle bien de démontrer que pour presque tout intervalle de cette forme, le nombre de nombres premier est proche de l' "expected number". Bazzanella serait-il incompétent ?

_ Le document "Between Consecutive Squares" de Richard L. Francis mentionne "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares" . Je l'ai utilisé pour sourcer le passage : "Comme ce nombre est grand pour n grand, cela donne une certaine crédibilité à la conjecture de Legendre". J'estime que c'est légitime.

_ Le papier "The number of primes in a short interval" commence par annoncer que la problématique est la formule asymptotique pi(x) - pi(x - y) ~ y/ln(x). L'auteur dit que cette formule est prouvée par le TNP pour c x < y < x pour c > 0. il ajoute "for conjecturally it should remain valid for x^t < y < x, for any constant t > 0". Je l'utilise pour sourcer : "Le nombre attendu de nombres premiers dans (n^2, (n+1)^2) serait approximativement n/ln(n) selon l'estimation classique fournie par le TNP". En effet, même si ce n'est pas mentionné explicitement, il est quand même assez évident que pour x=n^2, y = 2n - 1, on retombe sur notre estimation. Cela se fait de tête et c'est pour ça que ce n'est pas mentionné, car tout le monde le sait (un peu comme pour Bazzanella).

_ Enfin, le papier de Selberg (1943) n'est pas une "pseudo-source", mais une source supplémentaire destinée à renforcer l'idée que cette formule asymptotique est bien un domaine majeur de recherche en théorie analytique des nombres. Il montre qu'elle est vraie pour certains meilleurs t que ce qu'on a inconditionnellement sous HR (même si Legendre reste inaccessible).

Je pense qu'il vaut mieux laisser les sources en bibliographie, et laisser ce paragraphe pour en parler de manière liée, de telle manière qu'un lecteur avisé puisse se rendre compte proportionnellement des différentes voies suivies par la recherche sur cette conjecture. Vertrial (discuter) 5 septembre 2022 à 19:11 (CEST)