Discussion:Anneau quotient

Applications à la théorie algébrique des nombres

La première ne me pose aucun problème. Je suis plus perplexe pour les équations du second degré, même si je suis très loin d'être sûr de moi. J'ai cliqué sur quelques pages de Wikipédia, et ai sous la main le Samuel Théorie algébrique des nombres.

Sur la méthode chakravala, je ne comprends pas tous les détails (voir mon message à Discussion:Méthode chakravala) donc c'est un peu en suspens. Pour les équations

$x^{2}+n\cdot y^{2}=p\;$

j'ai l'impression d'avoir une idée un peu globale de comment ça marche, et je ne vois pas bien où servent les anneaux quotients : certes on utilise de façon essentielle le fait que |N(x)| = Card(A/Ax) (dit dans Samuel p. 62) mais la preuve que j'y vois là est basée sur le théorème de structure des groupes abéliens et autant que je voie en lecture rapide utilise de façon déterminante la structure de groupe quotient sur A/Ax mais pas sa structure multiplicative. La structure d'« anneau quotient » ne semble donc pas intervenir.

Me trompè-je ? Quelqu'un peut-il m'aider pour l'exemple le plus retors, celui de la méthode chakravala ? Touriste (d) 7 février 2011 à 21:40 (CET)

J'ai allégé idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Idéal premier, idéal maximal et (lu et) ajouté ta ref, et fabriqué une démo hypersimple dans méthode Chakravala et groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques. Tu as raison, la structure d'anneau quotient n'intervient nulle part. Dans la même logique, j'ai effacé un bout de phrase dans équation de Pell-Fermat et fraction continue d'un nombre quadratique. Anne Bauval (d) 9 février 2011 à 17:21 (CET)

Oki merci je vais continuer à le refondre (je risque quand même de perdre en productivité dans les prochains jours puis semaines, mais bon j'aurai eu quelques semaines de velléités...). Touriste (d) 9 février 2011 à 18:49 (CET)

Motivations

Vous avez écrit : << Tout anneau commutatif A est le quotient de l'anneau de polynômes $\mathbb {Z} \left[(X_{a})_{a\in A}\right]$ par l'idéal engendré par tous les éléments de la forme $X_{a+b}-X_{a}-X_{b}$ ou $X_{ab}-X_{a}X_{b}$. >>

Or ceci est faux : l'idéal mentionné ne contient aucun polynôme constant non nul, et donc le quotient est nécessairement de caractéristique nulle. L'anneau A n'est pas supposé de caractéristique nulle, donc il n'a aucune raison d'être isomorphe au quotient. Leon1789 (discuter) 24 janvier 2019 à 10:06 (CET)

Bonjour Leon1789 , mince tu as raison, c'est moi qui ai fait cette erreur en août dernier. Il suffit d'ajouter (dans les générateurs de l'idéal) $X_{1}-1$, non ? Et sais-tu si c'est sourçable ? Anne, 10 h 40

Oui, et il faut aussi ajouter la caractéristique n de l'anneau dans les générateurs de l'idéal (pour preuve, prendre A = Z / 2Z ). Leon1789 (discuter) 24 janvier 2019 à 14:00 (CET)

re-Bonjour Leon1789 , pas la peine d'ajouter n car si on ajoute $X_{1}-1$, on a (modulo l'idéal) $n\equiv nX_{1}\equiv X_{n}=X_{0}\equiv 0$. Mais hélas, ma seule « source » est https://math.stackexchange.com/questions/1409123, qui n'explicite même pas l'idéal. As-tu une meilleure source, qu'on pourrait citer ? Anne (discuter) 24 janvier 2019 à 17:22 (CET)

Oui, en effet, ajouter seulement $X_{1}-1$ suffit. Par ailleurs, je n'ai aucune de source. Leon1789 (discuter) 25 janvier 2019 à 08:55 (CET)