Discussion:Méthode chakravala

Exemple n = 20

Bonjour,

Je viens d'essayer d'implémenter la méthode de Brahmagupta pour résoudre l'équation x*x-n*y*y=1 et je coince quand n=20.

Dans le paragraphe "Apport de Brahmagupta", dans le sous paragraphe "Conséquences", il est démontré que Alpha3 est toujours divisible par 8. Cette démonstration s'appuie sur le fait que n est toujours impair. Or, dans le cas qui m'occupe, n est pair!!

L'algorithme donne donc : Alpha(1)=4+1*racine(20) de norme -4 puis alpha(1)^3=304+68*racine(20).

Il est alors évident que alpha(1)^3 n'est pas divisible par 8 dans A.

Dans le cas ou Norme(alpha)=+/-4, n est pair et alpha pas divisible par 2 dans A, comment faut il continuer la suite des alpha?

Merci d'avance pour la réponse et pour l'éventuelle correction de l'article.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Zelig63 (discuter), le 2 janvier 2009.

J'ai rajouté ce cas dans le § "Conséquences". Ici, Alpha(1)²/4 = 9 + 2√20 est de norme 1. Anne (discuter) 19 mai 2014 à 01:43 (CEST)

Démonstration pas tout à fait claire

Je fais allusion à celle dans la section Méthode chakravala#Caractère cyclique, en boîte déroulante. D'abord ça saute du (1) au (3), mais je suppose que c'est dû à une maladresse de l'auteur lors d'une retouche [1], on retrouvera le (2) dans le diff que je cite.

L'embêtant est que même avec le (2) je ne pige absolument pas, en ayant lu et relu dix minutes. Formellement, le problème est clair : α, J et B semblent fixés en début de preuve, puisqu'il est écrit « Soit J un idéal principal engendré par un élément α (...) et B le quotient de A par J. » à un endroit où ça devrait vouloir dire qu'ils le restent jusqu'au prochain item en gras, puis manifestement ils se mettent à bouger en cours de route puisque α est réutilisé (« soit α et β deux générateurs d'un tel idéal ») et aussi B si je crois comprendre (« un morphisme de A dans un anneau unitaire B est entièrement défini » dans le passage récupéré par le diff). J'ai assez d'expérience de correction de copies pour savoir que quand il y a une maladresse de style, des fois c'est réparable avec un petit effort et des fois c'est tout faux, mais là je ne réussis pas du tout à voir comment ça se répare. Et il n'y a pas de source clairement liée à la preuve... Allô Jean-Luc es-tu là ? Ou quelqu'un d'autre a-t-il le courage de jeter un œil ?

(Ma motivation : je suis en train de commencer à réécrire Anneau quotient et je veux vérifier si la méthode chakravala, qui y est actuellement évoquée, est bien une illustration pertinente. Ce qui nécessite de piger la preuve pour voir dans quelle mesure la structure multiplicative quotient y est utilisée). Touriste (d) 7 février 2011 à 21:16 (CET)

Dans (1) on dit que pour n'importe quel alpha de norme majorée (en val. abs.) par C, le B_alpha:=A/J_alpha (avec J_alpha:=alphaA) a au plus C^2 éléments. Dans (2) on en déduit que quand alpha varie (en restant borné par C comme dans 1), les classes d'isomorphisme des B_alpha parcourent un ensemble fini. Puis on remarque que pour tout B d'une telle classe d'iso, il n'y a qu'un nombre fini de morphismes surjectifs de A dans B, donc qu'un nombre fini de noyaux de tels morphismes, i.e. d'idéaux J tels que A/J soit isomorphe à B. Il n'y a donc qu'un nombre fini d'idéaux J de A tels que A/J soit isomorphe à l'un des B_alpha. Donc il n'y a qu'un nombre fini de J_alpha. (3) dit (longuement) qu'il y a bijection entre les J_alpha et les classes des alpha. Anne Bauval (d) 7 février 2011 à 23:26 (CET)

Voui voui voui, une fois réécrit par toi, ça m'a semblé pendant vingt secondes identique à ce qu'il y avait avant, puis c'est devenu clair. Donc c'est tout à fait sauvable, j'ai pigé. Maintenant, pour la question qui me concerne, il n'y a aussi qu'un nombre fini de classes d'isomorphisme de groupes abéliens à cardinal donné, et le calcul montrant que le noyau est imposé par la classe d'isomorphisme et le choix de l'image de racine de n marchent tous les deux très bien en ne munissant A/J que d'une structure additive, si je ne m'abuse. Donc ce n'est pas pertinent pour illustrer anneau quotient non ? Qu'en penses-tu ? Touriste (d) 7 février 2011 à 23:41 (CET)

Signe de m et exceptions dans l'algorithme

Il semble qu'implicitement, tout au long de l'article, on n'accepte dans l'algorithme de Bhaskara que les m positifs, en particulier au début de la preuve de Méthode chakravala#Caractère cyclique, quand on ne choisit qu'entre m et m + k qui encadrent √n.

Alors que p. 234-235 de (en) A. A. Krishnaswami Ayyangar (en), « New light on Bhaskara's Chakravala or cyclic method of solving indeterminate equations of the second degree in two variables », J. Indian Math. Soc., vol. 18,‎ 1929-30, p. 225-248 (lire en ligne), on choisit entre 4 valeurs (2 qui encadrent √n et 2 qui encadrent –√n). Ayyangar dit que ce choix entre 4 valeurs est explicite dans le texte de Bhaskara et a été complètement négligé par les auteurs qui ont écrit là-dessus. Il dit aussi que lorsque la "meilleure" de ces 4 valeurs fait revenir à une étape antérieure, on l'élimine et on choisit parmi les 3 restantes (il ne dit pas s'il peut arriver qu'il faille à nouveau éliminer la meilleure de ces 3).

J'ai remarqué que c'est toujours le cas pour le calcul de α₂ à partir de α₁ = m₀ + √n car la "meilleure" valeur serait m₁ = –m₀, mais que ça peut arriver aussi plus tard et plus sournoisement : par exemple pour n = 19, si l'on n'autorise que des m > 0 on trouve (comme indiqué à la fin du § Introduction par l'exemple)

$\alpha _{1}=4+{\sqrt {19}},\;\alpha _{2}=13+3{\sqrt {19}},\;\alpha _{3}=61+14{\sqrt {19}}$

mais pour le calcul de α₃ à partir de α₂, on pourrait être tenté de prendre m₂ = –5 au lieu de m₂ = 5 (les deux sont congrus modulo N(α₂) = –2) et si on ne le fait pas, c'est seulement parce que ça donnerait α₃ = –α₁.

L'algorithme est donc bien plus compliqué à analyser, surtout pour la preuve de cyclicité : Ayyangar affirme être le premier à la fournir, mais il ne le fait qu'au prix d'une impasse sur ce "pas de côté" (sur lequel il insistait lui-même) en cas d'une valeur de m qui fait revenir en arrière.

À moins qu'il soit possible de démontrer ce que semblent indiquer mes calculs pour les premières valeurs de n (jusqu'à 55) ? apparemment, les "pas de côté" reviennent à interdire les m < 0.

Anne (discuter) 23 mai 2014 à 01:19 (CEST)