Demi-groupe régulier

En mathématiques et notamment en algèbre, un demi-groupe régulier est un demi-groupe $S$ dans lequel tout élément $a$ est « régulier », non pas au sens usuel d'élément régulier c'est-à-dire simplifiable mais, par définition^[1], au sens : il existe un élément $x$ tel que $axa=a$ . Les demi-groupes réguliers sont parmi les classes les plus étudiées de demi-groupes ; leur structure se décrit bien au moyen des relations de Green.

Origines[modifier | modifier le code]

Les demi-groupes réguliers ont été introduits par James Alexander Green dans son article fondamental « On the structure of semigroups » de 1951^[2]. C'est également dans cet article que sont définies ce que l'on appelle maintenant les relations de Green. Le concept de régularité d'un demi-groupe est l'adaptation de la même notion pour les anneaux déjà considérée par John von Neumann^[3]. Une note en bas de page de l'article de Green mentionne que la notion de régularité a été utilisée pour la première fois dans les demi-groupes par David Rees.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit $S$ un demi-groupe.

Un élément $b$ de $S$ est un pseudo-inverse^[4] d'un élément $a$ de $S$ si $aba=a$ .
Un élément $b$ $b$ de $S$ $S$ est un inverse d'un élément a de $S$ $S$ si $aba=a$ $aba=a$ et $bab=b$ $bab=b$ .
- Notons^[5] que si $b$ est un pseudo-inverse de $a$ , alors $c=bab$ est un inverse de $a$ puisque $aca=ababa=a$ et $cac=(bab)a(bab)=b(aba)bab=b(aba)b=bab=c.$
- Notons aussi^[6] que si $b$ est un inverse de $a$ , alors $ab$ et $ba$ sont des éléments idempotents de $S$ , puisque $(ab)(ab)=(aba)b=ab$ et de même pour $ba$ .
Un élément $a$ de $S$ est régulier s'il possède au moins un inverse.
Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dont tous les éléments sont réguliers.
Un demi-groupe régulier dont tous les idempotents commutent est un demi-groupe inversif. Les demi-groupes inversifs sont aussi caractérisés par le fait que tous leurs éléments ont un inverse unique^[7]^,^[8]. En revanche, l'unicité de l'inverse n'implique pas l'unicité du pseudo-inverse^[9].

Exemples de demi-groupes réguliers[modifier | modifier le code]

Un groupe.
Le demi-groupe bicyclique.
Le demi-groupe de toutes les fonctions partielles d'un ensemble $X$ . Pour une fonction $f$ , de domaine $A$ et d'image $B$ , on prend pour inverse tout fonction $g$ de domaine $B$ et d'image $A$ telle que $f(g(b))=b$ . Si la fonction $f$ est injective, l'inverse est unique.
L'image homomorphe d'un demi-groupe régulier^[10].

Relations de Green[modifier | modifier le code]

Dans un demi-groupe $S$ , l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par un élément $a$ est l'ensemble $S^{1}a$ , $aS^{1}$ , $S^{1}aS^{1}$ respectivement, où $S^{1}$ est le monoïde obtenu en ajoutant un élément neutre à S s'il n'en possédait pas déjà un. Les relations de Green sont définies comme suit^[11] :

a\,{\mathcal {L}}\,b

si et seulement si

S^{1}a=S^{1}b

;

a\,{\mathcal {R}}\,b

si et seulement si

aS^{1}=bS^{1}

;

a\,{\mathcal {J}}\,b

si et seulement si

S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

.

Dans un demi groupe régulier $S$ , toute ${\mathcal {L}}$ -classe et toute ${\mathcal {R}}$ -classe contient au moins un idempotent. Si $a$ est un élément de $S$ et $x$ est un inverse de $a$ , alors $a{\mathcal {L}}\,xa$ et $a{\mathcal {R}}\,ax$ ^[12]. De plus $a\,{\mathcal {L}}\,b$ si et seulement s'il existe un inverse $x$ de $a$ et un inverse $y$ de $b$ tels que $xa=yb$ ^[13].

Dans un demi-groupe inversif, l'idempotent de chaque ${\mathcal {L}}$ -classe et ${\mathcal {R}}$ -classe est unique^[8].

Classes particulières de demi-groupes réguliers[modifier | modifier le code]

Howie^[14] mentionne les classes suivantes de demi-groupes réguliers :

demi-groupe localement inversif : c'est un demi-groupe régulier dans lequel eSe est un demi-groupe inversif pour tout idempotent e.
demi-groupe orthodoxe : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un sous-demi-groupe.
demi-groupe inversif généralisé : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un ruban (en) normal, c'est-à-dire vérifient xyzx = xzyx, pour tous idempotents x, y, z. On peut montrer^[15] que la classe des demi-groupes inversifs généralisés est l'intersection des demi-groupes localement inversifs et des demi-groupes orthodoxes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Regular semigroup » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Howie 1995, p. 54
↑ Green 1951
↑ von Neumann 1936
↑ Kilp, Knauer et Mikhalev 2000, p. 33
↑ Clifford et Preston 1961, Lemma 1.14
↑ Clifford et Preston 1961, p. 26
↑ En effet, si S est un demi-groupe inversif et si b et c sont deux inverses de a, alors
b=bab=b(aca)b=(bac)(aca)b=(ba)(ca)cab=(ca)(ba)cab=(ca)b(ac)(ab)=(ca)b(ab)(ac)=c(ababa)c=cac=c.
↑ ^{a et b} Howie 1995, Theorem 5.1.1
↑ Bien au contraire : on peut prouver ((en) « a characterization of groups », sur PlanetMath) qu'un demi-groupe où tout élément possède un pseudo-inverse unique est en fait un groupe.
↑ Howie 1995, Lemma 2.4.4
↑ Howie 1995, p. 55
↑ Clifford et Preston 1961, Lemma 1.13
↑ Howie 1995, Proposition 2.4.1
↑ Howie 1995, Chap. 6 et Section 2.4
↑ Howie 1995, p. 222

Références[modifier | modifier le code]

(en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, vol. I, Providence, R.I., AMS, coll. « Mathematical Surveys » (n^o 7), 1961
(en) James A. Green, « On the structure of semigroups », Ann. Math., 2^e série, vol. 54,‎ 1951, p. 163-172 (DOI 10.2307/1969317, JSTOR 1969317)
(en) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series » (n^o 12), 1995, x+351 (ISBN 0-19-851194-9, MR 1455373)
(en) Mati Kilp, Ulrich Knauer et Alexander V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories : with Applications to Wreath Products and Graphs, Walter de Gruyter, coll. « De Gruyter Expositions in Mathematics » (n^o 29), 2000, xviii+529 (ISBN 978-3-11-015248-7, lire en ligne)
(en) John von Neumann, « On Regular Rings », PNAS, vol. 22, n^o 12,‎ 1936, p. 707-713 (PMID 16577757, PMCID 1076849, DOI 10.1073/pnas.22.12.707, lire en ligne)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Classes particulières de demi-groupes (en)

Portail de l’algèbre

[1] Howie 1995, p. 54

[2] Green 1951

[3] von Neumann 1936

[4] Kilp, Knauer et Mikhalev 2000, p. 33

[5] Clifford et Preston 1961, Lemma 1.14

[6] Clifford et Preston 1961, p. 26

[7] En effet, si S est un demi-groupe inversif et si b et c sont deux inverses de a, alors
b=bab=b(aca)b=(bac)(aca)b=(ba)(ca)cab=(ca)(ba)cab=(ca)b(ac)(ab)=(ca)b(ab)(ac)=c(ababa)c=cac=c.

[ref_auto_1-8] {a et b} Howie 1995, Theorem 5.1.1

[9] Bien au contraire : on peut prouver ((en) « a characterization of groups », sur PlanetMath) qu'un demi-groupe où tout élément possède un pseudo-inverse unique est en fait un groupe.

[10] Howie 1995, Lemma 2.4.4

[11] Howie 1995, p. 55

[12] Clifford et Preston 1961, Lemma 1.13

[13] Howie 1995, Proposition 2.4.1

[14] Howie 1995, Chap. 6 et Section 2.4

[15] Howie 1995, p. 222

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