Demi-groupe régulier

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En mathématiques et notamment en algèbre, un demi-groupe régulier est un demi-groupe S dont tous les éléments sont réguliers ; cela signifie par définition[1] que pour tout élément a de S, il existe un élément x tel que axa=a. Les demi-groupes réguliers sont parmi les classes les plus étudiées de demi-groupes ; leur structure se décrit bien au moyen des relations de Green.

Origines[modifier | modifier le code]

Les demi-groupes réguliers ont été introduits par James Alexander Green (en) dans son article fondamental « On the structure of semigroups » de 1951[2]. C'est également dans cet article que sont définies ce que l'on appelle maintenant les relations de Green. Le concept de régularité d'un demi-groupe est l'adaptation de la même notion pour les anneaux déjà considérée par John von Neumann[3]. Une note en bas de page de l'article de Green mentionne que la notion de régularité a été utilisée pour la première fois dans les demi-groupes par David Rees.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit S un demi-groupe.

  • Un élément b de S est un pseudo-inverse[4] d'un élément a de S si aba=a.
  • Un élément b de S est un inverse d'un élément a de S si aba=a et bab=b.
    • Notons[5] que si b est un pseudo-inverse de a, alors c=bab est un inverse de a puisque
      aca=ababa=a et cac=(bab)a(bab)=b(aba)bab=b(aba)b=bab=c.
    • Notons aussi[6] que si b est un inverse de a, alors ab et ba sont des éléments idempotents de S, puisque (ab)(ab)=(aba)b=ab et de même pour ba.
  • Un élément a de S est régulier s'il possède au moins un inverse.
  • Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dont tous les éléments sont réguliers.
  • Un demi-groupe régulier dont tous les idempotents commutent est un demi-groupe inversif. Les demi-groupes inversifs sont aussi caractérisés par le fait que tous leurs éléments ont un inverse unique[7],[8]. En revanche, l'unicité de l'inverse n'implique pas l'unicité du pseudo-inverse[9].

Exemples de demi-groupes réguliers[modifier | modifier le code]

Relations de Green[modifier | modifier le code]

Dans un demi-groupe S, l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par un élément a est l'ensemble S^1a, aS^1, S^1aS^1 respectivement, où S^1 est le monoïde obtenu en ajoutant un élément neutre à S s'il n'en possédait pas déjà un. Les relations de Green sont définies comme suit[11] :

a\,\mathcal{L}\,b si et seulement si S^1a =S^1b;
a\,\mathcal{R}\,b si et seulement si aS^1 = bS^1;
a\,\mathcal{J}\,b si et seulement si S^1aS^1 = S^1bS^1.

Dans un demi groupe régulier S, toute \mathcal{L}-classe et toute \mathcal{R}-classe contient au moins un idempotent. Si a est un élément de S et x est un inverse de a, alors a\mathcal{L}\, xa et a \mathcal{R}\, ax[12]. De plus a\,\mathcal{L}\,b si et seulement s'il existe un inverse x de a et un inverse y de b tels que xa=yb[13].

Dans un demi-groupe inversif, l'idempotent de chaque \mathcal{L}-classe et \mathcal{R}-classe est unique[14].

Classes particulières de demi-groupes réguliers[modifier | modifier le code]

Howie[15] mentionne les classes suivantes de demi-groupes réguliers :

  • demi-groupe localement inversif : c'est un demi-groupe régulier dans lequel eSe est un demi-groupe inversif pour tout idempotent e.
  • demi-groupe orthodoxe : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un sous-demi-groupe.
  • demi-groupe inversif généralisé : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un ruban normal, c'est-à-dire vérifient xyzx = xzyx, pour tous idempotents x, y, z. On peut montrer[16] que la classe des demi-groupes inversifs généralisés est l'intersection des demi-groupes localement inversifs et des demi-groupes orthodoxes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Regular semigroup » (voir la liste des auteurs)

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Howie 1995, p. 54
  2. Green 1951
  3. von Neumann 1936
  4. Kilp, Knauer et Mikhalev 2000, p. 33
  5. Clifford et Preston 1961, Lemma 1.14
  6. Clifford et Preston 1961, p. 26
  7. En effet, si S est un demi-groupe inversif et si b et c sont deux inverses de a, alors
    b=bab=b(aca)b=(bac)(aca)b=(ba)(ca)cab=(ca)(ba)cab=(ca)b(ac)(ab)=(ca)b(ab)(ac)=c(ababa)c=cac=c.
  8. Howie 1995, Theorem 5.1.1
  9. Bien au contraire : on peut prouver (une preuve ici) qu'un demi-groupe où tout élément possède un pseudo-inverse unique est en fait un groupe.
  10. Howie 1995, Lemma 2.4.4
  11. Howie 1995, p. 55
  12. Clifford et Preston 1961, Lemma 1.13
  13. Howie 1995, Proposition 2.4.1
  14. Howie 1995, Theorem 5.1.1
  15. Howie 1995, Chap. 6 et Section 2.4
  16. Howie 1995, p. 222

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Classes particulières de demi-groupes (en)