Delta-anneau

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Un δ-anneau (lire delta-anneau) est un système d'ensembles dont la définition est un peu plus générale que celle des σ-algèbres (ou « tribus »). Il est possible de présenter dans ce formalisme alternatif une partie de la théorie de la mesure, plus souvent exposée dans le cadre des tribus. Ce choix a l'intérêt de permettre d'éviter l'introduction de parties de mesure infinie.

Définition[1] — Un δ-anneau sur un ensemble X est un anneau d'ensembles sur X stable par intersection dénombrable.

  • Tout σ-anneau est un δ-anneau[2]. Cela découle de la relation ensembliste :
    \bigcap_{i=1}^{+\infty} A_i=A_1\setminus\bigcup_{i=2}^{+\infty}(A_1\setminus A_i).
  • Dès lors, tous les exemples donnés à l'article « σ-anneau » (et a fortiori toutes les tribus) sont aussi des exemples de δ-anneaux.
  • Il existe des δ-anneaux qui ne sont pas des σ-anneaux. Un exemple simple en est, sur un ensemble X infini, la classe formée des parties finies de X.
  • Cet exemple est un cas particulier d'une collection d'exemples plus générale. Pour tout espace mesuré (X, 𝒜, μ), l'ensemble des éléments de la tribu 𝒜 qui sont de mesure finie est un δ-anneau.

Dans l'exposition traditionnelle du théorème d'extension de Carathéodory, qui étend une mesure définie sur un anneau d'ensembles à la tribu engendrée par celui-ci, la construction peut fournir une mesure qui n'est pas finie et donc nécessiter la considération de parties de mesure infinie. Lorsque la mesure initiale est sigma-finie, on dispose d'une alternative : il est possible d'énoncer le théorème d'extension comme fournissant une extension sur le δ-anneau engendré par 𝒜 et non la σ-algèbre engendrée. Ceci permet l'économie de l'introduction de la valeur +∞ dans la définition d'une mesure[3].

Étant donné un δ-anneau 𝒟 sur un ensemble X, on dit qu'une partie A de X est localement mesurable par rapport à 𝒟 lorsque :

\forall E\in\mathcal D\quad E\cap A\in\mathcal D.

La classe des ensembles localement mesurables par rapport à 𝒟 est une tribu. Lorsqu'on dispose d'une mesure finie μ sur 𝒟, on peut l'étendre à une mesure sur la tribu des ensembles localement mesurables en posant, pour tout A de cette tribu[4] :

\mu(A)=\mathrm{Sup}\,\{\mu(B)\,\mid\,B\in \mathcal D\hbox{ et }B\subset A\}.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Vladimir Bogachev, Measure Theory, Springer,‎ (ISBN 978-3-540-34513-8, lire en ligne), p. 8.
  2. (en) Karen Saxe, Beginning Functional Analysis, Springer,‎ (ISBN 978-0-387-95224-6, lire en ligne), p. 69, ex. 3.2.1.
  3. Bogachev 2007, p. 24-25. On trouvera une présentation de la théorie de la mesure selon ce programme dans (en) John L. Kelley et T. P. Srinivasan, Measure and Integral, Springer,‎ (ISBN 978-0-387-96633-5).
  4. Kelley et Srinivasan 1987, p. 91-92.