Coloration des arêtes d'un graphe
En théorie des graphes et en algorithmique, une coloration des arêtes d'un graphe consiste à attribuer à chaque arête une couleur, en évitant que deux arêtes ayant une extrémité commune soient de la même couleur.
La figure ci-contre est un exemple de coloration d'arêtes correcte. On vérifie en effet qu'aucun sommet n'est commun à deux arêtes de même couleur. On remarquera qu'ici, il n'aurait pas été possible de colorer les arêtes du graphe avec seulement deux couleurs.
Définition
Mentionnée sans précision supplémentaire, l'expression « coloration des arêtes d'un graphe » désigne le fait d'attribuer à chaque arête une couleur, de sorte que deux arêtes adjacentes (c'est-à-dire ayant une extrémité commune) n'aient jamais la même couleur. (C'est une notion duale de celle de coloration des sommets d'un graphe.)
Le nombre minimal de couleurs nécessaire pour réaliser la coloration des arêtes d'un graphe G est appelé indice chromatique de G ou nombre chromatique des arêtes de G et noté χ′(G), ou parfois χ1(G). Il ne doit pas être confondu avec le nombre chromatique (des sommets) de G, noté χ(G).
Propriétés
Si Δ(G) est le degré maximum de G et μ(G) sa multiplicité (le nombre maximum d'arêtes par paire de sommets), alors :
- χ′(G) = 1 si et seulement si G est un couplage.
- χ′(G) ≥ Δ(G).
- χ′(G) ≤ Δ(G) + 1 (théorème de Vizing).
- χ′(G) ≤ Δ(G) + μ(G), où G peut être un multigraphe.
- χ′(G) = Δ(G) dès que G est un graphe biparti (théorème de Kőnig sur les graphes bipartis).
- χ′(G) = Δ(G) dès que G est un graphe simple planaire tel que Δ(G) ≥ 7 (cf. section suivante).
Classification des graphes et détermination de leur nombre chromatique
Comme énoncé ci-dessus, χ′(G) est toujours égal à Δ(G) ou à Δ(G) + 1. G est dit de classe 1 dans le premier cas et de classe 2 dans le second.
En 1981, Holyver a prouvé[1] que la détermination de l'appartenance d'un graphe simple à l'une ou l'autre de ces deux classes est un problème NP-complet. Cependant, pour certains cas particuliers, il existe des règles permettant de conclure rapidement.
Par exemple, Vizing a établi[2] qu'un graphe simple planaire de degré maximum au moins égal à 8 est toujours de classe 1, et conjecturé qu'il en était de même pour un degré maximum égal à 6 ou 7 (on connaît des graphes simples planaires de degré maximum 2, 3, 4 ou 5 et de classe 2). Sanders (en) et Zhao[3] ont démontré le cas Δ(G) = 7 de sa conjecture.
Cette conjecture trouve une application dans celle de la coloration totale (en).
Notes et références
- (en) Ian Holyer, « The NP-completeness of edge-coloring », SIAM J. Comput., vol. 10, no 4, , p. 718-720 (DOI 10.1137/0210055).
- (ru) V. G. Vizing, « Critical graphs with given chromatic class », Metody Diskret. Analiz., vol. 5, 1965, p. 9-17.
- (en) Daniel P. Sanders et Yue Zhao, « Planar graphs of maximum degree seven are class I », J. Combin. Theory Ser. B, vol. 83, no 2, , p. 201-212 (DOI 10.1006/jctb.2001.2047).
Bibliographie
- (en) Tommy R. Jensen et Bjarne Toft, Graph Coloring Problems, John Wiley & Sons, (1re éd. 1995) (ISBN 978-1-11803074-5, lire en ligne)
- (de) Dénes Kőnig, « Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und Mengenlehre », Mathematische Annalen, vol. 77, no 4, , p. 453-465 (DOI 10.1007/BF01456961, lire en ligne)
