En mathématiques, les coefficients fibonomiaux ou Fibonacci-binomiaux sont définis, pour
,
entiers naturels,
par :
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}={\frac {n!_{F}}{k!_{F}(n-k)!_{F}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b5c6b0575a3edd7fdcfbe32bb2e65570ee46e5)
où
est la
-ième factorielle de Fibonacci , à savoir
![{\displaystyle {n!}_{F}=\prod _{i=1}^{n}F_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd94d07ac622f7e8700a80f2bd4e386e93f8b5b)
où
est le
-ième nombre de Fibonacci (avec la convention
).
Pour
, on peut écrire
.
Valeurs particulières
Les coefficients fibonomiaux sont entiers comme le montrera la relation de récurrence ci-dessous. Ils forment la suite A010048 de l'OEIS.
Voici quelques valeurs particulières :
![{\displaystyle {\binom {n}{0}}_{F}={\binom {n}{n}}_{F}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbfa4d09fba02a58868bf5371972dcf7814b231)
![{\displaystyle {\binom {n}{1}}_{F}={\binom {n}{n-1}}_{F}=F_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66878c7bcb76d58d822d320e0f53abab603c110)
![{\displaystyle {\binom {n}{2}}_{F}={\binom {n}{n-2}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}}{F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163fc6f8144de5fb0af05523fa9352155832dc11)
![{\displaystyle {\binom {n}{3}}_{F}={\binom {n}{n-3}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}F_{n-2}}{F_{3}F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}F_{n-2}/2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fb13f673b020816e330ce2c5a80203960201cc)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}={\binom {n}{n-k}}_{F}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62df79c39e677781a56e422e522d92002bec1d42)
Triangle fibonomial
De même que les coefficients binomiaux, disposés en triangle, forment le triangle de Pascal, les coefficients fibonomiaux, forment un triangle dit "fibonomial", voir suite A010048 de l'OEIS.
En voici Les huit premières lignes :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
1
|
1
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
|
|
|
1
|
2
|
2
|
1
|
|
|
|
1
|
3
|
6=2.3
|
3
|
1
|
|
|
|
1
|
5
|
15=3.5
|
15
|
5
|
1
|
|
|
|
1
|
8
|
40=5.8
|
60
|
40
|
8
|
1
|
|
|
|
1
|
13
|
104=8.13
|
260
|
260
|
104
|
13
|
1
|
Relation de récurrence similaire à la relation de Pascal, permettant de construire le triangle, connaissant ses bords remplis de 1 :
.
Autre relation, similaire à la formule du pion, permettant de construire le triangle :
.
Les coefficients fibonomiaux sont reliés aux coefficients q-binomiaux par la formule :
, où
est le nombre d' or,
.
Ils vérifient le deuxième théorème de l'étoile David :
Application
Dov Jarden a prouvé que les coefficients fibonomiaux apparaissent comme coefficients d'une relation entre puissances de nombres de Fibonacci généralisés consécutifs. Plus précisément, pour toute suite de Fibonacci généralisée
(c'est-à-dire satisfaisant
pour tout entier
), on a :
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{k+1}(-1)^{i(i+1)/2}{\binom {k+1}{i}}_{F}(G_{n-i})^{k}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b443f03fc6e13038ddea9010702e0b449035cd36)
pour tout entier
et tout entier naturel
[1] .
Références
- ↑ (en) Dov Jarden, Recurring Sequences, seconde édition 1966, 30–33 p.