Classification des discontinuités

En mathématiques, les fonctions continues sont d'une importance primordiale. Cependant, toutes les fonctions ne sont pas continues. On appelle discontinuité tout point du domaine d'une fonction où celle-ci n'est pas continue. L'ensemble des discontinuités d'une fonction peut être discret, dense voire être le domaine entier.

Dans cet article, seuls les discontinuités des fonctions réelles à caleurs réelles seront étudiées.

On considère une fonction à valeurs réelles ƒ de la variable réelle x, définie sur un voisinage du point x₀ où ƒ est discontinue. On a alors trois possibilités :

la limite à gauche

L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)

et la limite à droite

L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)

en $\scriptstyle x_{0}$ existent, sont finies et égales à $\scriptstyle L\;=\;L^{-}\;=\;L^{+}$ . Alors, si ƒ(x₀) n'est pas égal à $\scriptstyle L$ , x₀ est appelée discontinuité apparente. La discontinuité peut être effacée dans le sens où la fonction

g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}

est continue en x=x₀.

les limites $\scriptstyle L^{-}$ et $\scriptstyle L^{+}$ existent, sont finies, mais ne sont pas égales. Alors x₀ est appelée une discontinuité de saut ou discontinuité de première espèce. Dans ce cas, la valeur de ƒ en x₀ importe peu.
Au moins une des deux limites $\scriptstyle L^{-}$ et $\scriptstyle L^{+}$ n'existe pas ou est infinie. On parle alors de discontinuité essentielle ou discontinuité de deuxième espèce. Ce cas est à différencier des singularités essentielles d'une fonction de la variable complexe.)

Le terme de discontinuité apparente est parfois utilisé de façon abusive dans les cas où les limites à gauche et à droite existent, sont égales, mais la fonction n'est pas définie en $\scriptstyle x_{0}$ . Il faut comprendre l'abus dans le sens où la continuité est un concept défini pour des points du domaine de la fonction. Un tel point qui n'est pas dans le domaine est une singularité apparente.

Exemples

La fonction

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ si }}x<1\\0&{\mbox{ si }}x=1\\2-x&{\mbox{ si }}x>1\end{cases}}

est discontinue en $\scriptstyle x_{0}\;=\;1$ et c'est une discontinuité apparente. En effet, les limites à gauche et à droite en 1 valent toutes les deux 1.

La fonction

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ si }}x<1\\0&{\mbox{ si }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ si }}x>1\end{cases}}

est discontinue en $\scriptstyle x_{0}\;=\;1$ et c'est une discontinuité de saut.

La fonction

f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ si }}x<1\\0&{\mbox{ si }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ si }}x>1\end{cases}}

est discontinue en $\scriptstyle x_{0}\;=\;1$ et c'est une discontinuité essentielle. Il aurait suffi qu'une des deux limites (à gauche ou à droite) n'existe pas ou soit infinie. Toutefois, cet exemple permet de montrer une discontinuité essentielle même pour l'extension au domaine complexe.

Classification par l'oscillation

L'oscillation d'une fonction en un point quantifie une discontinuité de la sorte :

pour une discontinuité apparente, la distance entre les limites et la valeur de la fonction au point est son oscillation ;
pur un saut, la taille du saut est son oscillation (en supposant que la valeur au point se trouve entre les deux limites) ;
dans une discontinuité essentielle, l'oscillation mesure l'incapacité de la limite à exister.

Ensemble des discontinuités d'une fonction

L'ensemble des points où une fonction est continue est toujours un ensemble G_δ (en). L'ensemble de ses discontinuités est un ensemble ensemble F_σ (en).

Le théorème de Froda dit que l'ensemble des discontinuités d'une fonction monotone est au plus dénombrable.

La fonction de Thomae est discontinue en tout rationnel, mais continue en tout point irrationnel.

La fonction indicatrice des rationnels, ou fonction de Dirichlet, est discontinue en tout point.

Voir aussi

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Classification of discontinuities » (voir la liste des auteurs).

Références

(en) S. C. Malik et Arora, Savita, Mathematical analysis, 2nd ed, New York: Wiley, 1992 (ISBN 0-470-21858-4)

Liens externes

Modèle:Planetmath reference
"Discontinuity" par Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
(en) Eric W. Weisstein, « Discontinuity », sur MathWorld
(en) L.D. Kudryavtsev, « Discontinuity point », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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