Fonction de Thomae

Graphe de la fonction de Thomae sur [0,1]

La fonction de Thomae est une variante de la fonction de Dirichlet. Elle a été définie en 1875 par le mathématicien Carl Johannes Thomae (de). C'est un exemple de fonction continue en tout point d'une partie dense mais également discontinue sur une autre partie dense. La fonction de Thomae $\psi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ est définie par la façon dont sont calculées les images des nombres rationnels ou irrationnels de [0,1]:

$\psi(x) = 0$ si x est irrationnel,

$\psi(x) = 1$ si x = 0,

$\psi(x) = 1/q$ si x est rationnel non nul de la forme $p/q$, avec $p \in \mathbb{Z} - \{0\}$, $q \in \mathbb{N} - \{0\}$, p et q étant premiers entre eux.

Fonction de Thomae et verger d'Euclide

Vue plane de l'un des quadrants du verger d'Euclide. Les arbres en bleu sont ceux visibles depuis l'origine.

Vue en perspective du verger d'Euclide depuis l'origine, en regardant dans la direction de la bissectrice.

Cette fonction est utilisée pour mettre en évidence certains comportements curieux liés à la définition des notions de limite et de continuité en mathématiques. Bien que d'apparence étrange, elle peut s'introduire très naturellement, par l'exemple du "verger d'Euclide".

Considérons le réseau formé par les segments de droites verticaux joignant (i, j, 0) à (i, j, 1) , où i et j décrivent l'ensemble des entiers positifs dans le quadrant $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. Ces segments, qui représentent des arbres plantés de façon régulière forment le "verger d'Euclide".

Les arbres visibles depuis l'origine correspondent aux points du réseau (i, j, 0) où i et j sont premiers entre eux. Si le verger est projeté selon une projection 3D relativement à l'origine sur le plan $x+y =1$ (c'est-à-dire s'il est vu en perspective depuis l'origine en regardant dans la direction de la première bissectrice), les sommets des arbres projetés forment le graphe de la fonction de Thomae.

Une fonction pathologique: la fonction de Dirichlet

La fonction de Dirichlet $\varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est définie par :

$\varphi(x) = 0$ si x est irrationnel,

$\varphi(x) = 1$ si x est rationnel

Elle est discontinue partout et n'est pas intégrable au sens de Riemann. Elle est cependant intégrable au sens de Lebesgue et son integrale de Lebesgue $\int_{\mathbb{R}} {\varphi}(x)\mbox{d}x = \lambda(\mathbb{Q})$ est egale à la mesure de Lebesgue de l'ensemble des nombres rationnels $\lambda(\mathbb{Q})$ c'est-à-dire 0 puisque $\mathbb{Q}$ est dénombrable. On a:

$\varphi(x) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \lim_{m \rightarrow +\infty} {\cos}^{2n}(m! \pi x)$.

En effet, si $x \in \mathbb{Q}$, alors $x = p/q$ et $\cos(m! \pi x)= \cos(m! \pi p/q )$ est de la forme $\cos(2k \pi)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et $\cos(m! \pi x) = 1$ dès que m est assez grand (par exemple dès que $m > q$); donc dans ce cas ${\cos (m! \pi x)}^{2n}$ est constant et égal à 1 pour m assez grand quel que soit n. Et si $x\in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$, alors $m! \pi x$ n'est jamais de la fome $2k \pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ (sinon x serait rationnel) ce qui implique $|\cos(m! \pi x)| < 1$ et donc $\lim_{m \rightarrow +\infty} \lim_{n \rightarrow +\infty} {\cos}^{2n}(m! \pi x) = 0$. Remarquez que cette démonstration suppose que l'on peut intervertir les limites dans une suite double, ce qui est effectivement le cas ici.

La fonction de Thomae

La fonction de Thomae $\psi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ est définie comme suit :

$\psi(x) = 0$ si x est irrationnel,

$\psi(x) = 1$ si x = 0,

$\psi(x) = 1/q$ si x est rationnel non nul de la forme $p/q$, avec $p \in \mathbb{Z} - \{0\}$, $q \in \mathbb{N} - \{0\}$, p et q étant premiers entre eux.

Propriétés

Cette fonction possède les propriétés suivantes :

• Elle est discontinue en tout point rationnel;

en effet, si $\psi$ était continue en $x_0=p/q$, alors, en écrivant la définition de la continuité avec $\epsilon \leq 1/2q$ on en conclut qu'il devrait exister un intervalle autour de $x_0$ dont l'image par $\psi$ serait contenue dans l'ensemble des réels strictement positifs, ce qui est impossible puisqu'un tel intervalle contient des irrationnels dont l'image par $\psi$ est nulle.

• Continue en tout point irrationnel;

pour comprendre comment démontrer ce point, il suffit de regarder attentivement le graphe de $\psi$ tel celui montré à la figure du haut de cet article: pour une barre horizontale située à $y=\epsilon$, il n'y a qu'un nombre fini de rationnels $p/q$ dont l'image par $\psi$ est située "au-dessus" de $y=\epsilon$: ce sont les rationnels tels que $q < 1/\epsilon$. Autrement dit, et en revenant sur le verger d'Euclide, il n'y a qu'un nombre fini d'arbres dont la hauteur apparente est supérieure à une hauteur donnée, ce qui est bien évident. Donc si $x_0$ est irrationnel et $\epsilon > 0$ est donné, on peut trouver un intervalle suffisamment petit autour de $x_0$ dont tous les points, rationnels ou irrationnels, auront une image située sous la barre $y = \epsilon$, ce qui revient à dire que $\psi$ est continue en $x_0$.

• Elle a une limite nulle en tout point de $[0,1]$;

ici encore, la figuration en perspective du verger d'Euclide permet de comprendre facilement cette propriété: si on se place en un point quelconque de l'intervalle [0,1], regarder ce qui se passe de plus en plus près de ce point équivaut à zoomer la vue du verger au voisinage de ce point. Si on zoome suffisamment, seuls les arbres les plus lointains vont être visibles, et leur hauteur décroit de façon inversement proportionnelle à leur distance. Ainsi, pour tout $x_0 \in [0,1]$, on a $\lim_{x \rightarrow x_0} \psi(x) = 0$. La démonstration rigoureuse est élémentaire et presque identique à celle de la propriété précédente.

• Différentiable en aucun point;

en effet la question de la différentiabilité ne se pose qu'en les points où $\psi$ est continue, c'est-à-dire les irrationnels de $[0,1]$. Or si $x_0$ est irrationnel, en considérant les accroissements $\frac{\psi(h_n) - \psi(x_0)}{h_n - x_0}$ pour des suites $h_n \rightarrow x_0$ de nombres irrationnels on voit facilement que, si $\psi$ est supposée différentiable en $x_0$ alors nécessairement $\psi'(x_0) = 0$. Mais, pour tout $n \in \mathbb{N} - \{0\}$, il existe un entier relatif $j_n$ tel que $|j_n - nx_0| < 1$ c'est-à-dire $| j_n/n - x_0| < 1/n$; alors, en considérant la suite des accroissements $\frac{\psi(j_n/n) - \psi(x_0)}{j_n/n - x_0}$ on aboutit à une contradiction car ces accroissements sont en module toujours plus grands que 1, et ils ne peuvent donc tendre vers 0.

• Réglée (c'est-à-dire limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier ${\psi}_n$) et donc intégrable au sens de Riemann. Chaque ${\psi}_n$ peut même être choisie nulle sauf en un nombre fini de points donc d'intégrale nulle, si bien que $\int_0^1 {\psi}(x)\mbox{d}x = \lim_{n \rightarrow +\infty } \int_0^1 {\psi}_n(x)\mbox{d}x = 0$. Remarquons que l'intégrabilité au sens de Riemann de la fonction de Thomae résulte aussi immédiatement du fait que l'ensemble de ses points de discontinuité, les rationnels de [0,1], est de mesure nulle, et d'un théorème de Lebesgue sur la caractérisation des fonctions intégrables au sens de Riemann.
• Semi-continue supérieurement sur [0,1], car elle possède un maximum relatif en tout point rationnel, et est continue en tout irrationnel.

Généralisations et différentiabilité

Dans l'article donné en référence ci-dessous, on montre qu'il est possible de modifier la fonction de Thomae de manière à la rendre différentiable sur un sous-ensemble dense des irrationnels. Par exemple, la modification suivante de la fonction de Thomae:

$\psi(x) = 0$ si x est irrationnel,

$\psi(x) = 1$ si x = 0,

$\psi(x) = 1/q^3$ si x est rationnel non nul de la forme $p/q$, avec $p \in \mathbb{Z} - \{0\}$, $q \in \mathbb{N} - \{0\}$, p et q étant premiers entre eux,

est différentiable sur le sous-ensemble dense des irrationnels algébriques, lequel est cependant de mesure nulle, car dénombrable. En ces points, la dérivée $\psi'(x)$ est nulle.

La rapidité de la décroissance des images des rationnels détermine la mesure du domaine de différentiabilité d'une modification de la fonction de Thomae. Ainsi par exemple la fonction suivante:

$\psi(x) = 0$ si x est irrationnel,

$\psi(x) = 1$ si x = 0,

$\psi(x) = 1/e^q$ si x est rationnel non nul de la forme $p/q$, avec $p \in \mathbb{Z} - \{0\}$, $q \in \mathbb{N} - \{0\}$, p et q étant premiers entre eux, est quant à elle différentiable presque partout sur [0,1], bien qu'il existe une partie non-dénombrable des irrationnels [0,1] sur laquelle $\psi$ n'est pas différentiable.

Référence

(en) K. Beanland, J. W. Roberts et C. Stevenson, Modifications of Thomae's function and differentiability, Amer. Math. Monthly, 116, n°6 (juin-juillet 2009), 531-535 [lire en ligne]

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Function », MathWorld