Fonction de Thomae

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Graphe de la fonction de Thomae sur [0, 1]

La fonction de Thomae est une variante de la fonction de Dirichlet. Elle a été définie en 1875 par le mathématicien Carl Johannes Thomae (en). C'est un exemple de fonction continue en tout point d'une partie dense mais également discontinue sur une autre partie dense. La fonction de Thomae

T:\R\to\R

est définie par cas, en distinguant les rationnels des irrationnels :

T(x)=\begin{cases}0&\text{ si }x\notin\Q,\\
1&\text{ si }x=0,\\
1/q&\text{ si }x=p/q,\mathrm{~fraction~irr\acute eductible~non~nulle.}\end{cases}

(Une fraction irréductible est un quotient p/q de deux entiers premiers entre eux, avec q > 0.)

Fonction de Thomae et verger d'Euclide[modifier | modifier le code]

Vue plane de l'un des quadrants du verger d'Euclide. Les arbres en bleu sont ceux visibles depuis l'origine.
Vue en perspective du verger d'Euclide depuis l'origine, en regardant dans la direction de la bissectrice.

Cette fonction est utilisée pour mettre en évidence certains comportements curieux liés à la définition des notions de limite et de continuité en mathématiques. Bien que d'apparence étrange, elle peut s'introduire très naturellement, par l'exemple du « verger d'Euclide (en) ».

Considérons le réseau formé par les segments de droites verticaux joignant (i, j, 0) à (i, j, 1) , où i et j décrivent l'ensemble ℕ des entiers positifs. Ces segments, qui représentent des arbres plantés de façon régulière forment le « verger d'Euclide ».

Les arbres visibles depuis l'origine correspondent aux points du réseau (i, j, 0) où i et j sont premiers entre eux. Si le verger est projeté selon une projection 3D relativement à l'origine sur le plan x + y = 1 (c'est-à-dire s'il est vu en perspective depuis l'origine en regardant dans la direction de la première bissectrice), les sommets des arbres projetés forment le graphe de la fonction de Thomae.

Une fonction pathologique : la fonction de Dirichlet[modifier | modifier le code]

La fonction de Dirichlet

D:\R\to\R

est la fonction indicatrice de l'ensemble ℚ des rationnels :

D(x)=\begin{cases}1&\text{ si }x\in\Q,\\0&\text{ si }x\in\R\setminus\Q.\end{cases}

Elle est discontinue partout et n'est donc Riemann-intégrable sur aucun segment [a, b] avec a < b (d'après le critère de Lebesgue). Elle est cependant nulle presque partout donc son intégrale de Lebesgue est nulle.

On peut remarquer[1] que D(x)=\lim_{m\to+\infty}\lim_{n\to+\infty}{\cos}^{2n}(m!\pi x).

La fonction de Thomae[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction T de Thomae, définie dans l'introduction, est limite uniforme d'une suite de fonctions Tn dont chacune, sur tout segment [a, b], est nulle sauf en un nombre fini de points. Par conséquent :

  • T a une limite nulle en tout point, donc elle est semi-continue supérieurement, discontinue en tout point rationnel et continue en tout point irrationnel ;
  • d'après le critère de Lebesgue, T est donc Riemann-intégrable sur tout segment [a, b] (car continue presque partout) ;
  • elle est même réglée (puisque les Tn sont des fonctions en escalier) et son intégrale de Riemann sur [a, b] est nulle (comme celle des Tn).

Par ailleurs, T n'est différentiable en aucun point.

Généralisations et différentiabilité[modifier | modifier le code]

La « fonction de Thomae modifiée » suivante[2] est associée à n'importe quelle suite réelle décroissante a = (aq)q>0 convergeant vers 0 :

T_a(x)=\begin{cases}0&\text{ si }x\notin\Q,\\
1&\text{ si }x=0,\\
a_q&\text{ si }x=p/q,\mathrm{~fraction~irr\acute eductible~non~nulle.}\end{cases}

Elle a le même comportement que T du point de vue de la continuité et est encore non dérivable sur un ensemble non dénombrable dense d'irrationnels. Cependant, pour tout ensemble dénombrable E d'irrationnels, il existe une suite a telle qu'en tout point de E, Ta soit dérivable (donc de dérivée nulle). De plus, le domaine de dérivabilité de Ta, déterminé par la rapidité de la décroissance de la suite a, est souvent beaucoup plus gros. Par exemple[2],[3] :

  • pour aq = 1/qk, Ta n'est dérivable nulle part si k ≤ 2 mais si k > 2, elle est dérivable en tout irrationnel de mesure d'irrationalité strictement inférieure à k, donc presque partout (et sur une partie dense) ;
  • pour aq = 1/eq, Ta est même dérivable en tout irrationnel qui n'est pas de Liouville.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Function », MathWorld
  2. a, b et c (en) Kevin Beanland, James W. Roberts et Craig Stevenson, « Modifications of Thomae's function and Differentiability », Amer. Math. Monthly, vol. 116, no 6,‎ juin-juillet 2009, p. 531-535 (lire en ligne).
  3. (en) Judith D. Sally (en) et Paul J. Sally, Jr. (en), Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems, AMS,‎ 2007 (ISBN 978-0-82187267-3, lire en ligne), p. 232.