Approximation de Gauss

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L'approximation de Gauss (d'après le physicien allemand Carl Friedrich Gauss) est l'approximation linéaire de l'optique géométrique[1] obtenue lorsque les angles d'incidence des rayons sont faibles (c'est-à-dire suivant une direction proche de la normale à la surface de l'instrument d'optique) et que le point d'incidence est proche de l'axe optique. On dit alors que l'on travaille avec des rayons paraxiaux. On obtient dans ces conditions un stigmatisme approché. Les écarts à cette approximation (rencontrés notamment dans les instruments d'optique travaillant en « grand angle ») sont appelés aberrations géométriques.

L'ensemble des conditions menant à l'approximation de Gauss est appelé conditions de Gauss.

Interprétations mathématiques[modifier | modifier le code]

L'approximation de Gauss, appelée également approximation des petits angles, est un développement limité des fonctions trigonométriques de base pour \alpha assez petit[2] et exprimé en radians :

  • \cos \alpha \simeq 1 - \alpha^2/2\simeq 1  ;
  • \sin \alpha \simeq \alpha  ;
  • \tan \alpha \simeq \alpha .

Une justification rigoureuse de cette approximation est donnée, par exemple, par le théorème de Taylor (si l'on définit les fonctions trigonométriques par l'analyse), ou en partant de l'encadrement \sin \alpha<\alpha<\tan \alpha, qu'on peut démontrer purement géométriquement.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. José-Philippe Pérez, Optique : Fondements et applications, [détail des éditions], 5e édition, page 28.
  2. L'erreur commise est de l'ordre de \frac {\alpha^2} 2 pour cos, et de \frac {\alpha^3} 6 pour sin ; pour des angles inférieurs à 5 degrés, soit 0,1 radians, on obtient un résultat souvent assez précis en pratique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]