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L'approximation de Cornish-Fisher permet de transformer le quantile , ou une réalisation, d'une loi normale en une réalisation d'une loi dont l'asymétrie et le kurtosis en excès ne sont pas nuls. On la doit à Edmund Alfred Cornish et Ronald Aylmer Fisher [ 1]
On approche la réalisation Z de la loi voulue telle que :
F
(
Z
)
=
Φ
(
z
c
)
{\displaystyle F(Z)=\Phi (z_{c})}
Où :
F
{\displaystyle F}
fonction de répartition de la loi Z
Φ
{\displaystyle \Phi }
z
c
{\displaystyle z_{c}}
On a :
Z
=
z
c
+
(
z
c
2
−
1
)
S
6
+
(
z
c
3
−
3
z
c
)
K
24
−
(
2
z
c
3
−
5
z
c
)
S
2
36
{\displaystyle Z=z_{c}+(z_{c}^{2}-1){\frac {S}{6}}+(z_{c}^{3}-3z_{c}){\frac {K}{24}}-(2z_{c}^{3}-5z_{c}){\frac {S^{2}}{36}}}
Où S désigne l'asymétrie de la loi considérée, et K , sa kurtosis en excès.
Domaine de validité de l'approximation de Cornish-Fisher Pour que cette transformation marche elle doit être bijective . Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la dérivée
d
Z
d
z
c
{\textstyle {\frac {{\rm {d}}Z}{{\rm {d}}z_{c}}}}
S
2
9
−
4
(
K
8
−
S
2
6
)
(
1
−
K
8
+
5
S
2
36
)
≤
0
{\displaystyle {\frac {S^{2}}{9}}-4\left({\frac {K}{8}}-{\frac {S^{2}}{6}}\right)\left(1-{\frac {K}{8}}+{\frac {5S^{2}}{36}}\right)\leq 0}
Estimation du domaine de validité de l'approximation de Cornish-Fisher
On a :
d
Z
d
z
c
=
1
+
2
z
c
S
6
+
(
3
z
c
2
−
3
)
K
24
−
(
6
z
c
2
−
5
)
S
2
36
=
1
−
K
8
+
5
S
2
36
+
S
3
z
c
+
(
K
8
−
S
2
6
)
z
c
2
.
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Z}{{\rm {d}}z_{c}}}=1+2z_{c}{\frac {S}{6}}+(3z_{c}^{2}-3){\frac {K}{24}}-(6z_{c}^{2}-5){\frac {S^{2}}{36}}=1-{\frac {K}{8}}+{\frac {5S^{2}}{36}}+{\frac {S}{3}}z_{c}+\left({\frac {K}{8}}-{\frac {S^{2}}{6}}\right)z_{c}^{2}.}
Afin de garantir la positivité de ce terme, il faut que le discriminant de cette équation du second degré soit négatif :
Δ
(
K
)
=
S
2
9
−
4
(
1
−
K
8
+
5
S
2
36
)
(
K
8
−
S
2
6
)
=
42
S
2
+
5
S
4
54
−
11
S
2
+
36
72
K
+
1
16
K
2
⩽
0.
{\displaystyle \Delta (K)={\frac {S^{2}}{9}}-4\left(1-{\frac {K}{8}}+{\frac {5S^{2}}{36}}\right)\left({\frac {K}{8}}-{\frac {S^{2}}{6}}\right)={\frac {42S^{2}+5S^{4}}{54}}-{\frac {11S^{2}+36}{72}}K+{\frac {1}{16}}K^{2}\leqslant 0.}
Pour que l'inégalité soit vérifiée, il faut que K soit entre les deux racines de cette deuxième équation du second degré, donc qu'elles existent, ce qui est vrai dans le cas :
Δ
=
(
11
S
2
+
36
)
2
5184
−
42
S
2
+
5
S
4
216
=
1
5184
S
4
−
1
24
S
2
+
1
4
=
S
4
−
216
S
2
+
1296
5184
⩾
0.
{\displaystyle \Delta ={\frac {(11S^{2}+36)^{2}}{5184}}-{\frac {42S^{2}+5S^{4}}{216}}={\frac {1}{5184}}S^{4}-{\frac {1}{24}}S^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {S^{4}-216S^{2}+1296}{5184}}\geqslant 0.}
On a donc
S
2
⩽
36
(
3
−
2
2
)
{\displaystyle S^{2}\leqslant 36(3-2{\sqrt {2}})}
S
2
⩾
36
(
3
+
2
2
)
{\displaystyle S^{2}\geqslant 36(3+2{\sqrt {2}})}
|
S
|
⩽
6
3
−
2
2
=
6
(
−
1
+
2
)
≈
2
,
48
{\displaystyle |S|\leqslant 6{\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}=6(-1+{\sqrt {2}})\approx 2,48}
|
S
|
⩾
6
3
+
2
2
=
6
(
1
+
2
)
≈
14
,
48
{\displaystyle |S|\geqslant 6{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=6(1+{\sqrt {2}})\approx 14,48}
Le deuxième cas est impossible, donc on se restreint à l'intervalle
|
S
|
⩽
6
(
−
1
+
2
)
{\displaystyle |S|\leqslant 6(-1+{\sqrt {2}})}
Δ
(
K
)
⩽
0
⟺
8
(
42
S
2
+
5
S
4
)
−
6
(
11
S
2
+
36
)
K
+
27
K
2
⩽
0
⟺
(
11
S
2
+
36
)
−
S
4
−
1296
S
2
+
7776
9
⩽
K
⩽
(
11
S
2
+
36
)
+
S
4
−
1296
S
2
+
7776
9
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (K)\leqslant 0&\Longleftrightarrow &8(42S^{2}+5S^{4})-6(11S^{2}+36)K+27K^{2}\leqslant 0\\&\Longleftrightarrow &{\frac {(11S^{2}+36)-{\sqrt {S^{4}-1296S^{2}+7776}}}{9}}\leqslant K\leqslant {\frac {(11S^{2}+36)+{\sqrt {S^{4}-1296S^{2}+7776}}}{9}}.\end{aligned}}}
En pratique en finance, K et S sont petits et K est positif (variables leptokurtiques ) ; la condition est donc respectée.
