Équation différentielle (mathématiques élémentaires)

Une équation différentielle est une équation dans laquelle la ou les inconnue(s) ne sont pas des nombres mais des fonctions et certaines de leurs dérivées. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ revient donc à chercher toutes les fonctions $f$ (dérivables sur $I$ au rang nécessaire) qui vérifient l'équation différentielle proposée.

Cadre général

Une équation différentielle est définie par une relation entre les fonctions inconnues recherchées et leurs dérivées à différents rangs. Par exemple l'équation:

$af''+bf'+cf+d=0\,$

avec des nombres réels a, b, c et d non nuls est une équation différentielle linéaire (car la relation entre f et ses dérivées est linéaire) et du second ordre (car elle contient la dérivée de f au rang 2).

Cas étudié au lycée

Définition

On s'intéresse aux équations différentielles linéaires du premier ordre, c’est-à-dire de la forme $af'+bf+c=0$, avec a, b et c des réels tels que a et b soient non nuls.

Les solutions dans $\mathbb{R}$ de cette équation différentielle sont les fonctions définies par:

$f(x)=ke^{-\frac{b}{a}x}-\frac{c}{b}$

où $k$ est un réel quelconque et $e$ désigne la base du logarithme népérien. Cette équation différentielle peut donc avoir une infinité de solutions car k peut prendre toutes les valeurs possibles sur $\mathbb{R}$.

Avec condition initiale

L'équation différentielle peut avoir une condition initiale du type $f(x_0)=y_0$ avec $x_0, y_0$ dans $\mathbb{R}$ qui déterminera une solution particulière de l'équation différentielle.

Exemple

L'équation différentielle E définie par:

$2f'+f=0\,$ avec $f(0)=-\frac{1}{2}\,$ a pour solution générale $f(x)=ke^{-\frac{1}{2}x}$.

Comme $f(0)=-\frac{1}{2}\,$, alors $-\frac{1}{2}=ke^{-\frac{1}{2}*0}=ke^{0}$ et donc $k=-\frac{1}{2}$.

On en déduit donc que la solution unique de l'équation différentielle E qui a pour condition initiale $f(0)=-\frac{1}{2}$ est $f(x)=-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}$.

Pour approfondir, voir l'article général équation différentielle. Dans la typologie générale des équations différentielles, celles qui ont été étudiées ici sont appelées équations différentielles linéaires scalaires, d'ordre un ou d'ordre deux, à coefficients et second membre constants.