Algèbre de Hecke d'un groupe fini

L'algèbre de Hecke d'un groupe fini est l'algèbre engendrée par les doubles classes HgH suivant un sous-groupe H d'un groupe fini G. C'est un cas particulier d'algèbre de Hecke d'un groupe localement compact.

Définition

Soient F un corps de caractéristique nulle, G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Soit $F[G]$ l'algèbre de groupe de G : c'est l'espace des fonctions de G dans F avec la multiplication donnée par convolution. On note $F[G/H]$ l'espace des fonctions de $G/H$ dans F. Une fonction (à valeurs dans F) sur $G/H$ détermine et est déterminée par une fonction sur G qui est invariante sous l'action de H par multiplication à droite. Autrement dit, on a une identification naturelle :

$F[G/H]=F[G]^{H}.$

De même, on a une identification

$R:=\operatorname {End} _{G}(F[G/H])=F[G]^{H\times H}$

définie ainsi : on envoie une application G-linéaire f sur la valeur de f évaluée en la fonction caractéristique de H. Pour chaque double classe $HgH$, soit $T_{g}$ sa fonction caractéristique. Alors, les $T_{g}$ forment une base de R.

Application en théorie des représentations

Soit $\varphi :G\rightarrow GL(V)$ une représentation complexe de dimension finie d'un groupe fini G, l'algèbre de Hecke $H=\operatorname {End} _{G}(V)$ est l'algèbre des endomorphismes G - équivariants de V . Pour chaque représentation irréductible $W$ de G, l'action de H sur V préserve ${\tilde {W}}$ – la composante isotypique de $W$ – et commute avec $W$ comme une action G.

Voir également

• Paire de Gelfand

Bibliographie

• Claudio Procesi (2007) Groupes de Lie : une approche par les invariants et les représentations, Springer, (ISBN 9780387260402) .
• Mark Reeder (2011) Notes sur les représentations des groupes finis, notes .