Utilisateur:SARIAN Armen/Identité de Legendre

L'identité de Legendre ou relation de Legendre peut être exprimée sous deux formes :

• comme une relation entre des intégrales elliptiques complètes : $KE'+EK'-KK'={\frac {\pi }{2}}$ ;
• comme une relation entre les périodes et quasi-périodes de fonctions elliptiques.

Les deux formes sont équivalentes dans la mesure où les périodes et quasi-périodes peuvent être exprimées en termes d'intégrales elliptiques complètes. Cette identité a été introduite (pour les intégrales elliptiques complètes) par le mathématicien français Adrien-Marie Legendre en 1811 et 1825.

Définition

L'identité de Legendre est :

$K\left(k\right)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E\left(k\right)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left(k\right)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

Cette formule est valable pour $k\in \left]0;1\right[$. Elle relie les intégrales elliptiques complètes de première et deuxième espèce en fonction du module elliptique $k$ et de son comodule $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$. Sous une forme légèrement modifiée, l'identité de Legendre pour le même ensemble de définition de $k$ peut également être formulée en termes de "contreparties tangentielles de modules elliptiques" :

$\left(1+k\right)K\left(k\right)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-2K\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

Les intégrales elliptiques complètes sont définies ainsi :

${\begin{aligned}K\left(k\right)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&=&2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\\E\left(k\right)&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta &=&2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Par exemple, la première formule et la deuxième formule donne respectivement :

${\begin{aligned}&K\left({\frac {3}{5}}\right)E\left({\frac {4}{5}}\right)+\;\;\;E\left({\frac {3}{5}}\right)K\left({\frac {4}{5}}\right)-\;\;K\left({\frac {3}{5}}\right)K\left({\frac {4}{5}}\right)={\frac {\pi }{2}}\\{\frac {4}{3}}&K\left({\frac {1}{3}}\right)E\left({\frac {1}{2}}\right)+{\frac {3}{2}}E\left({\frac {1}{3}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)-2K\left({\frac {1}{3}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

Histoire

Le mathématicien Adrien-Marie Legendre a noté cette relation dans son ouvrage Exercices de calcul intégral sur divers ordres de "transcendantes et sur les quadratures de 1811. Dans cet ouvrage, il établit la forme normale dite de Legendre. Il y introduit également la répartition des intégrales elliptiques en trois catégories, à savoir la première, la deuxième et la troisième espèce. A cette époque, Legendre était membre de l'Académie des sciences de Paris. Dans un autre ouvrage, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes de 1825, il dérive son identité de manière encore plus détaillée. Dans cet ouvrage, il a principalement analysé les théorèmes d'addition des fonctions elliptiques.

Intégrales elliptiques

La première forme d'identité de Legendre exprime le fait que le Wronskien des intégrales elliptiques complètes (considérées comme solutions d'une équation différentielle) est une constante.

Démonstration

Identité de Legendre dans le cas lemniscatique

Dans le cas lemniscatique, on a $k={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$. Les intégrales elliptiques de première espèce traitent les "angles" des lemniscates de Bernoulli et les intégrales elliptiques de deuxième espèce traitent les "angles" d'une ellipse avec ${\sqrt {2}}$ comme rapport des demi-axes associé. L'identité de Legendre pour le cas lemniscatique peut être prouvée comme suit. On a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}F\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}E\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {x\left(1+x^{2}y^{2}\right)}{{\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-x^{4}y^{4}\right)+2x^{3}y^{6}\left(1-x^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-y^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]={\frac {-2\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)}}}$

Ces quatre identités s'appliquent :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]+F\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\right]={\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]={\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)$

On a alors :

${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{\left[2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]+x^{2}\left[K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}\!\left(y^{2}+1\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}\,y^{4}\right)}}}$

En intégrant par rapport à $x$ de 0 à $x$, on a :

$\left[K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\left[2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]$

$=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\mathrm {d} y$

Selon la règle de L'Hôpital :

$\lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0$

$\lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0$

Si la valeur $x=1$ est insérée dans la dernière identité intégrale mentionnée, alors l'identité suivante apparaît :

$K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right){\biggl [}2\,E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right){\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y=\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}=2\arctan 1={\frac {\pi }{2}}$

C’est ainsi qu’émerge cet extrait de l’identité de Legendre :

$2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

Généralisation pour le cas global non lemniscatique

On a :

Dérivée de E et K par rapport à $k$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}$	${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {k^{2}K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{k(1-k^{2})}}$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$	${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {k\left[K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]}{1-k^{2}}}$

Démonstration

Démonstration de la dérivation de l'intégrale elliptique complète de première espèce :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=$

$={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(k)-{\frac {1}{k}}K(k)-\left[{\frac {kx{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right]_{x=0}^{x=1}={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}$

Démonstration de la dérivation de l'intégrale elliptique complète de seconde espèce :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$

On a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+k^{2}K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[-E(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-(1-k^{2})K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-(1-2k^{2})K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]$

En additionnant les deux premières égalités et en soustrayant la troisième, on a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]=0$

Or, on vient de voir que, pour $k={\frac {\sqrt {2}}{2}}$, on a :

$2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

Donc, on a :

$K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

soit :

$KE'+EK'-KK'={\frac {\pi }{2}}$

Application

Série pour l'inverse de π

Ces séries de Maclaurin sont valables pour toutes les valeurs réelles k < 1 :

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}$

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}$

On a alors cette paire de formules :

$K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}$

$E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}$

Ces deux formules peuvent être substituées dans cette formule :

$2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

On peut alors synthétiser le développement en série suivant :

${\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+2k}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}={\frac {2}{\pi }}$

La vitesse de convergence pour cette formule de série se comporte linéairement par rapport aux décimales :

Obergrenze vom Index	Wert der Summe	Dezimale Nachkommastellen
0	1	1
1	45/64	0,70312500
2	43065/65536	0,65711975
3	2701125/4194304	0,64399838
4	43945661025/68719476736	0,63949353
5	2805051005757/4398046511104	0,63779475

Les résultats à la décimale ont été créés en arrondissant. La fraction 2/π a les premières décimales suivantes :

${\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}636619772367581343$

Dérivation du "nom elliptique"

Le "nom elliptique" est :

$q(x)=\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi \,K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{K(x)}}}$

On a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)=q(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {-\pi K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{K(x)}}={\frac {\pi \left[K(x)E\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)+E(x)K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)-K(x)K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\right]}{x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)$

Le "nom elliptique" établit la relation entre la fonction thêta jacobienne et l'intégrale elliptique complète de première espèce :

$\vartheta _{00}[q(x)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(x)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1+q(x)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\vartheta _{01}[q(x)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(x)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1-q(x)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

Fonctions elliptiques

La relation de Legendre avec les fonctions elliptiques est :

$\omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\mathrm {i} \pi$

où $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ sont les périodes de la fonction elliptique de Weierstrass, $\eta _{1}$ et $\eta _{2}$ sont les quasi-périodes de la fonction zêta de Weierstrass. Certains auteurs les normalisent différemment par des facteurs de 2, auquel cas le membre droit de la relation de Legendre est $\mathrm {i} \pi$ ou $\mathrm {i} \pi /2$. Cette relation peut être testée en intégrant la fonction zêta de Weierstrass sur la limite d'une région fondamentale et en appliquant le théorème des résidus de Cauchy.

Bibliographie

• Duren, Peter (1991), "The Legendre relation for elliptic integrals", in Ewing, John H.; Gehring, F. W. (eds.), Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics, New York: Springer-Verlag, pp. 305-315, doi:10.1007/978-1-4612-0967-6_32, (ISBN 0-387-97509-8), MR 1113282

• Karatsuba, E. A.; Vuorinen, M. (2001), "On hypergeometric functions and generalizations of Legendre's relation", J. Math. Anal. Appl. (en), 260 (2): pages : 623–640, MR 1845572

• Legendre, A.M. (1811), Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, vol. I, Paris

• Legendre, A.M. (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, vol. I, Paris

• Duren, Peter "Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics", éditeur= Springer-Verlag, New York, 1991, isbn : 0-387-97509-8, chapitre : The Legendre relation for elliptic integrals, pages : 305-315, doi : 10.1007/978-1-4612-0967-6_32

Références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Legendresche Identität » (voir la liste des auteurs).

• (ca) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en catalan intitulé « Relació de Legendre » (voir la liste des auteurs).