Utilisateur:Nefbor Udofix/Théorème de l'image ouverte

L'analyse complexe traite en premier lieu des fonctions d'une variable complexe qui sont dérivables, les fonctions holomorphes. Le théorème de l'image ouverte affirme que l'image d'une fonction holomorphe non localement constante est nécessairement un ouvert. Comme conséquence, les fonctions holomorphes non localement constantes envoient ouverts sur ouverts : ce sont des exemples d'applications ouvertes.

En topologie générale, toute application injective, continue et ouverte définit un homéomorphisme sur son image. Le théorème de l'image ouverte implique donc que toute fonction holomorphe injective est un homéomorphisme sur son image. Mieux encore: il faut savoir que son inverse est encore une fonction holomorphe!

La preuve du théorème de l'image ouverte met en œuvre une bonne compréhension du comportement local des fonctions holomorphes.

Notations et énoncé

Dans cet article, U désigne un ouvert connexe (domaine) du plan complexe C, et f une fonction définie et holomorphe sur U.

Si U est un domaine de C et f une fonction holomorphe sur U, alors l'image f(U) est un ouvert de C.

Démonstration

Une partie de C est un ouvert si elle est voisinage de chacun de ses points. Le théorème de l'image ouverte dit exactement que, pour tout a appartenant à U, l'image f(U) est un voisinage de f(a). Sans perte de généralités, on peut toujours supposer a  =  0 et f(a)  =  0, quitte à remplacer f par $f(z):=f(z+a)-f(a)$.

La démonstration proposée est adaptée de Rudin, p.257-58 ; elle est menée en deux étapes :

1. Extraction d'une racine locale g de f, de sorte que la dérivée de g en 0 soit non nulle ;
2. Définition d'un petit disque de rayon r inclus dans l'image de g.

La fonction g sera une fonction définie et holomorphe sur un petit voisinage ouvert V de 0, qui vérifiera: g^m  =  f sur V. La deuxième étape consiste à définir un disque de rayon r inclus dans g(V). Dès lors, l'image f(U) contiendra la disque de rayon r^m, et a fortiori sera un voisinage de 0.

Construction de la racine locale de f

La fonction f est développable en série entières en 0. On peut donc écrire f comme la somme de sa série de Taylor sur un disque ouvert D:

$f(z)=\sum a_{n}z^{n}\quad$ avec $\quad a_{n}={\frac {f^{n}(0)}{n!}}$.

La série entière converge normalement sur tout compact. Or, on a supposé : f(0)  =  0. Il s'ensuit que le premier coefficient a₀ est nul. Comme f n'est pas localement constante, les coefficients ne sont pas tous nuls. Il existe un plus petit indice m tel que a_m soit non nul : cet entier m est appelé l'ordre du zéro de f. Le développement en séries entières peut donc se réécrire :

$f(z)=z^{m}.h(z)\quad$ avec $\quad h(z)=\sum _{n\geq 0}a_{m+n}z^{n}$.

Sur le disque D, la fonction h est la somme d'une série entière, donc est une fonction holomorphe. Par ailleurs, h(0)  =  a_m est non nul. On est donc en droit de définir une détermination du logarithme complexe au voisinage de h(0). Alors:

$g(z)=z\exp \left[{\frac {\ln h(z)}{m}}\right]$

est bien défini pour z proche de 0. Quitte à restreindre D, g est bien défini sur D, et cette fonction est holomorphe, comme composée de fonctions holomorphes. La fonction g est une racine m-ième locale de la fonction f, c'est-à-dire:

$g(z)^{m}=z^{m}\exp \left[\ln h(z)\right]=z^{m}h(z)=f(z)$.

Existence du disque

Par construction, la fonction g se présente sous la forme :

$g(z)=z.u(z)~$

où u est une fonction holomorphe sur le disque D de rayon R, et qui ne s'annule pas. En particulier, la fonction |u| est continue et strictement positive. Par un argument de compacité, la fonction |u|est supérieure ou égale à une constante c>0 sur le disque fermé de rayon R/2. Par conséquent :

$\forall |z|=R/2,\quad |g(z)|\geq cR/2$

Si w est un nombre complexe de module strictement inférieur à cR/4, alors :

$\forall |z|=R/2,\quad |w-g(z)|\geq cR/2-|w|>|w|$

Par le principe du maximum, w  -  g doit s'annuler dans le disque de centre 0 et de rayon cR/2. En particulier, tout nombre complexe de module inférieur à cR/4 appartient à l'image de g. Donc l'image de g contient un disque centré en 0 (à savoir de rayon cR/4), ce qui conclut la démonstration.