Zéro d'une fonction holomorphe

En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe $f$ un nombre complexe $a$ tel que $f(a)=0$.

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé

Dans toute cette section, $U$ désigne un ouvert de ℂ, $f:U\to \mathbb {C}$ une fonction holomorphe et $a$ (élément de $U$) un zéro de $f$.

Il existe un disque ouvert $\mathrm {D} (a,r)$ inclus dans $U$ où $f$ se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à $r$) :

$\forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }\alpha _{k}\,(z-a)^{k}$ (le terme constant est $\alpha _{0}=f(a)=0$ et les autres coefficients sont $\alpha _{k}=f^{(k)}(a)/k!$).

Définition — $a$ est un zéro isolé de $f$ si c'est un point isolé de l'ensemble des zéros de $f$, c'est-à-dire si, dans un disque de centre $a$ et de rayon suffisamment petit, $a$ est le seul point où $f$ s'annule.

Deux cas (seulement) sont possibles :

• Si pour tout entier $k>0$, $\alpha _{k}=0$, alors

$\forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=0$ : $f$ est identiquement nulle sur $\mathrm {D} (a,r)$ ; $a$ est donc dans ce cas un zéro non isolé ;

• Dans le cas contraire, soit $n$ l'indice du premier coefficient non nul de la série entière ($n\geq 1$ et $\alpha _{n}\neq 0$) : on peut écrire

$\forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=\sum _{k=n}^{+\infty }\alpha _{k}\,(z-a)^{k}=(z-a)^{n}\,g(z),$

où $g\,:\,\mathrm {D} (a,\,r)\,\to \,\mathbb {C}$ est définie par :

$\forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,g(z)=\sum _{\ell =0}^{+\infty }\alpha _{\ell +n}\,(z-a)^{\ell }.$

Cette fonction $g$ est analytique et $g(a)=\alpha _{n}$ est non nul.

Par continuité de $g$ en $a$, il existe un réel strictement positif $r_{1}<r$ tel que $g$ ne s'annule pas sur $\mathrm {D} (a,r_{1})$.

Finalement, pour tout élément $z$ de $\mathrm {D} (a,r_{1})$ :

$f(z)=(z-a)^{n}g(z)\quad {\text{et}}\quad g(z)\neq 0.$

On en déduit que $a$ est le seul point de $\mathrm {D} (a,r_{1})$ où $f$ s'annule ; $a$ est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

Définition

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé $a$ de $f$ est l'unique entier $n>0$ tel que :

• pour tout entier naturel $k<n$, $f^{(k)}(a)=0~$

et

• $f^{(n)}(a)\neq 0.$

Lorsque $n=1$, on dit que $a$ est un zéro simple.

Théorème

• $a$ est un zéro isolé d'ordre $n$ de $f$ (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe $g$, définie sur un disque ouvert $\mathrm {D} (a,r)$ inclus dans $U$, telle que :
  • $\forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=(z-a)^{n}\,g(z)$ et
  • $g(a)\neq 0.$
• Principe des zéros isolés : si $a$ est un zéro non isolé de $f$, alors il existe un disque ouvert $\mathrm {D} (a,r)$ inclus dans $U$ sur lequel $f$ est nulle.

Remarque

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Exemple

Soient $a$ un nombre complexe et

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,~z\mapsto \exp(z)-\exp(a)-(z-a)~\exp(a).$

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et $a$ en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

$f(a)=f'(a)=0\quad {\text{et}}\quad f''(a)\neq 0.$

Application

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytique

Soient $U$ un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions $f_{1},f_{2}$ définies et holomorphes sur $U$.

Si l'ensemble $\{z\in U\mid f_{1}(z)=f_{2}(z)\}$ possède au moins un point non isolé, alors $f_{1}=f_{2}$.

Ou encore :

s'il existe un élément $a$ de $U$ et une suite $(z_{n})$ d'éléments de $U$ distincts de $a$, convergeant vers $a$, tels que pour tout entier $n$, $f_{1}(z_{n})=f_{2}(z_{n})$, alors

$\forall z\in U\quad f_{1}(z)=f_{2}(z)$.

Exemple

Soit $U$ un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle $I$ de ℝ non réduit à un point : les points de $I$ sont non isolés.

Si les fonctions $f_{1},f_{2}$ sont holomorphes sur $U$ et coïncident sur $I$, alors elles coïncident sur $U$.

Cela signifie qu'une fonction de $I$ dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe $U$ de ℂ contenant $I$.

• Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
• On suppose connue l'identité $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
  • Soit $y$ un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes $f_{1},f_{2}$ en posant $f_{1}(z)=\exp(z+y)$ et $f_{2}(z)=\exp(z)\exp(y)$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe $z$, $\exp(z+y)=\exp(z)\exp(y)$, et cela pour tout réel $y$ ;
  • Soit $z$ un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes $f_{3},f_{4}$ en posant $f_{3}(u)=\exp(z+u)$ et $f_{4}(u)=\exp(z)\exp(u)$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe $u$, $\exp(z+u)=\exp(z)\exp(u)$, et cela pour tout complexe z.

Nombre de zéros

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :

${\frac {1}{2i\pi }}\oint _{\partial D}{\frac {F'(\xi )}{F(\xi )}}~\mathrm {d} \xi .$