Zéro d'une fonction holomorphe

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En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe un nombre complexe tel que .

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé[modifier | modifier le code]

Dans toute cette section, désigne un ouvert de ℂ, une fonction holomorphe et (élément de ) un zéro de .

Il existe un disque ouvert inclus dans se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à ) :

(le terme constant est et les autres coefficients sont ).

Définition —  est un zéro isolé de si c'est un point isolé de l'ensemble des zéros de , c'est-à-dire si, dans un disque de centre et de rayon suffisamment petit, est le seul point où s'annule.

Deux cas (seulement) sont possibles :

  • Si pour tout entier , , alors
 : est identiquement nulle sur  ; est donc dans ce cas un zéro non isolé ;
  • Dans le cas contraire, soit l'indice du premier coefficient non nul de la série entière ( et ) : on peut écrire
est définie par :
Cette fonction est analytique et est non nul.
Par continuité de en , il existe un réel strictement positif tel que ne s'annule pas sur .
Finalement, pour tout élément de  :
On en déduit que est le seul point de s'annule ; est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

Définition[modifier | modifier le code]

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé de est l'unique entier tel que :

  • pour tout entier naturel ,
et

Lorsque , on dit que est un zéro simple.

Théorème[modifier | modifier le code]

  • est un zéro isolé d'ordre de (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe , définie sur un disque ouvert inclus dans , telle que :
    • et
  • Principe des zéros isolés : si est un zéro non isolé de , alors il existe un disque ouvert inclus dans sur lequel est nulle.

Remarque[modifier | modifier le code]

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soient un nombre complexe et

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

Application[modifier | modifier le code]

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytique[modifier | modifier le code]

Soient un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions définies et holomorphes sur .

Si l'ensemble possède au moins un point non isolé, alors .

Ou encore :

s'il existe un élément de et une suite d'éléments de distincts de , convergeant vers , tels que pour tout entier , , alors

.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle de ℝ non réduit à un point : les points de sont non isolés.

Si les fonctions sont holomorphes sur et coïncident sur , alors elles coïncident sur .

Cela signifie qu'une fonction de dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe de ℂ contenant .

  • Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
  • On suppose connue l'identité pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
    • Soit un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes en posant et . Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe , , et cela pour tout réel  ;
    • Soit un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes en posant et . Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe , , et cela pour tout complexe z.

Nombre de zéros[modifier | modifier le code]

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :