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Fiabilité en Mécanique – la méthode Contrainte-Résistance

La méthode Contrainte-Résistance dans le contexte de la fiabilité en mécanique

Les méthodes de fiabilité prévisionnelle ont pour objectif de produire des estimations a priori de la fiabilité de dispositifs, appropriées aux mécanismes de défaillance susceptibles de les affecter. Ces estimations peuvent être utilisées en phase de conception pour démontrer que la fiabilité prévisionnelle est meilleure que la fiabilité allouée, ou en exploitation lorsque l'on souhaite par exemple améliorer la sureté d'une installation ou en étendre la durée de fonctionnement.

Développées initialement pour les systèmes électroniques, ces méthodes ont été fondées à l'origine sur l'hypothèse que le taux de défaillance des composants est constant pendant leur période d'utilisation. Si cette hypothèse peut permettre de prendre en compte (avec précautions) des composants mécaniques simples, produits en grand nombre, susceptibles d'un mode de défaillance simple, elle n'est en général pas applicable aux systèmes à dominante « mécanique » pour lesquels les modes de défaillance (rupture, déformation, grippage, bruyance…) liés à la fatigue, à l'usure et au vieillissement apparaissent dès le début du cycle d'utilisation.

L'objectif de la « Fiabilité en Mécanique » est donc de mettre à disposition des concepteurs un ensemble de méthodes d'estimation de la fiabilité prévisionnelle juste nécessaires, prenant en compte les mécanismes réels de défaillance et adaptées à chaque cas particulier.

A l'issue des étapes « classiques » d'analyse prévisionnelle qualitative de la fiabilité (AMDEC, arbres de défaillances), trois approches de la fiabilité prévisionnelle de chaque composant sont possibles :

• Il s'agit de composants traités dans des recueils de données de type « taux de défaillance constant » relatifs à des composants similaires, utilisés sur des systèmes similaires, dans des conditions et avec un profil d'utilisation et de maintenance similaires. Il est alors possible, sous réserves de vérifier la validité des hypothèses, d'utiliser des taux de défaillance

• Il s'agit de composants « standardisés » sur lesquels les fabricants disposent de données suffisantes pour fournir « sur catalogue » des méthodes de calcul de la fiabilité prévisionnelle paramétrées selon les conditions d'utilisation (spectre de charge). Les données prennent implicitement en compte les conditions de maintenance préventive des composants de référence. Ces méthodes donnent directement l'évolution du taux de défaillance et de la fiabilité du composant en fonction du temps. Les principales lois de mortalité utilisées sont la loi log-normale et la loi de Weibull. Ce type d'approche est applicable en particulier à des composants comme les roulements, ressorts, engrenages, composants électromécaniques, ...

• Le composant ne fait pas l'objet de standardisation, ou ses conditions d'utilisation sont spécifiques, il est alors préconisé d'appliquer des méthodes de type « Contrainte-Résistance » permettant de calculer la fiabilité prévisionnelle en prenant en compte les modèles d'endommagement adaptés à la physique des contraintes subies par le composant (usure, fatigue à grand nombre de cycles, fatigue oligocyclique, ...). L'application de ces méthodes permet alors d'enrichir les approches classiques du dimensionnement des composants mécaniques en quantifiant les risques liés à l'utilisation de « coefficients de sécurité » et en optimisant le dimensionnement en fonction des objectifs.

En résumé, la méthode Contrainte-Résistance permet, sous certaines conditions, d'évaluer la fiabilité d'une pièce mécanique soumise à des contraintes.

Cette fiabilité s'exprime par la probabilité que, sur l'ensemble de la mission, la contrainte mécanique subie en tout point de la pièce reste inférieure à la résistance de la pièce.

Description de la méthode Contrainte-Résistance

La méthode est fondée sur l'application des techniques de calcul de pièces mécaniques pour chaque type de contrainte subie :

- contraintes statiques, - fatigue à grand nombre de cycles, - fatigue oligocyclique, - usure, - …

Elle consiste à décrire de manière statistique:

 le cycle de contraintes appliquées, en y intégrant autant que possible les contraintes « exceptionnelles » (pics de contraintes) et les aléas prévisibles liés à la mission,

 les caractéristiques statistiques de résistance du matériau correspondant à chaque type de contrainte appliquée (résistance à la rupture, limite élastique, limite de fatigue, facteur K de fissuration...), en prenant en compte les aléas liés au matériau (hétérogénéités, vieillissement, ..), à la réalisation et au montage de la pièce (usinage, traitements thermiques, assemblage, ...), aux facteurs externes (température, humidité, ...).

Figure à insérer

Au delà du « classique » coefficient de sécurité $k={\frac {\mu _{c}}{\mu _{\rho }}}$ , la fiabilité de la pièce en chaque point s'exprime par la probabilité que, pour chaque mode de défaillance, la sollicitation appliquée (« contrainte » $C$ ) soit inférieure à la sollicitation admissible (« résistance » $\rho$ ).

$R=Prob(C<\rho )=Prob((X=C-\rho )<0)$

2 figures à insérer

Dans le « cas d'école » où la contrainte $C$ et la résistance $\rho$ sont distribuées selon des lois normales de caractéristiques respectives ( $\mu _{c};\sigma _{c}$ ) et ( $\mu _{\rho };\sigma _{\rho }$ ), la variable $X=(C-\rho )$ suit une loi normale décrite de moyenne $(\mu _{X}=\mu _{C}-\mu _{\rho })$ et de variance ( $\sigma _{X}^{2}=\sigma _{c}^{2}+\sigma _{\rho }^{2})$ ).

Si l'on pose $u={\frac {-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}$ la fiabilité s'exprime par :

${R=1}{-P(u)}$

La valeur de $P(u)$ peut-être lue directement dans une table de loi normale réduite.

Dans les autres cas (autres distributions) , il est nécessaire de faire appel à des techniques statistiques plus élaborées pour comparer contrainte et résistance : - algèbre des variables aléatoires, - simulation de Monte Carlo, - transformées de Mellin,  méthodes d'approximation (FORM/SORM – First / Second Order Reliability Methods). 

Conduite du processus

- Détermination de l'enveloppe des profils d'utilisation de la pièce (cahier des charges, retour d'expérience, ...).

- Analyse des modes de défaillance (AMDE) de la pièce et des facteurs d'endommagement.

- Détermination des contraintes et de leurs caractéristiques statistiques dans les « zones critiques » (mesure, résistance des matériaux, modèles de fatigue des matériaux, théories du dommage, mécanique de la rupture, calculs par éléments finis, ...).

détermination des caractéristiques statistiques de résistance du matériau (résistance à la rupture, limite élastique, limite de fatigue, facteur K de fissuration...) associées à chaque mode d'endommagement

données matériaux « catalogue »,

retour d'expérience,

résultats d'essais de détermination,

...

- Comparaison de la contrainte et de la résistance dans chaque « zone critique ».

- Estimation de la fiabilité, comparaison aux objectifs et préconisations d'optimisation (dimensionnement, maintenance, ...).

Points forts et limites de la méthode

 Le domaine de pertinence de chaque approche de la fiabilité en mécanique est fortement dépendant :

- de la robustesse du retour d'expérience sur lequel s'appuient les données d'entrée. - du contexte et des objectifs de l'étude.

- Du fait des limites des méthodes (voir ci-après), une étude de fiabilité en mécanique n'a pas pour but de calculer la fiabilité d'un composant à la décimale près, mais plutôt d'effectuer dans le cas de systèmes sollicités dynamiquement une approche qui est beaucoup plus précise que l'utilisation de coefficients de sécurité, qui ne sont pertinents que dans des cas d'utilisation très spécifiques, et ne prennent pas en compte les incertitudes sur contrainte et résistance

- La « fiabilité en mécanique » ne se réduit pas à « la loi de Weibull » ou à la « méthode contrainte résistance », le choix et la mise en œuvre des méthodes de prévision adaptées à chaque composant et à chaque contexte d'étude nécessitent une bonne connaissance des bases de la mécanique ET de la fiabilité.

- La « rigueur mathématique » des modèles et leur aptitude à « produire des décimales » ne doit pas faire oublier que la précision des estimations est dépendante : - de l'exhaustivité des analyses qualitatives (c'est bien souvent une cause ou une combinaison de causes « oubliée » qui conduira à la défaillance). - de la qualité des données d'entrée (il est parfois difficile de rassembler des données d'entrée robustes sur les facteurs endommageant, la distribution statistique des contraintes et des résistances). - de l'écart entre le modèle et la réalité physique.

- A contrario, les tables de taux de défaillance doivent être utilisées avec beaucoup de précaution en étant conscient du fait qu'elles ne représentent en général qu'une première approximation.

- La méthode permet d'émettre des préconisations pour l'optimisation du dimensionnement, de la réalisation, de la maintenance.

- Le calcul des contraintes (Résistance des Matériaux, éléments finis, ...) et de leurs limites peut faire appel à des modèles et des méthodes de calcul mécanique affaire de spécialistes, et en constante évolution

- L'estimation de la fiabilité peut faire appel à des méthodes statistiques « sophistiquées » et des moyens de calcul importants.

- Même avec des données « de qualité » il faut être prudent sur l'exploitation de résultats obtenus pour de très faibles niveaux de probabilités de défaillance (exploitation des « queues » de distribution)

Bibliographie

• Fiches pédagogiques de l'IMdR (http://www.imdr.fr/modules/tpl_infos.php?id=56)
• Fiabilité Prévisionnelle en Mécanique
• Fiabilité en Mécanique – la méthode Contrainte-Résistance
• CAZAUX, POMEY, RABBE, JANSSEN – La fatigue des métaux – ed. Dunod. 5ème édition – 1969
• C. MARCOVICI et J. C. LIGERON - Utilisation des Techniques de Fiabilité en Mécanique - ed. Lavoisier, 1974
• J. C. LIGERON - La Fiabilité en Mécanique - ed. Desforges, 1979
• Maitriser l'usure et le frottement - Ministère de l'industrie, Programme national d'innovation, 1980
• BARTHELEMY – Notions pratiques de mécanique de la rupture – ed. Eyrolles, 1990
• C. BATHIAS, J. P. BAILON – La Fatigue des Matériaux et des Structures – ed. Hermès,1997
• T. R. MOSS - The Reliability Data Handbook – ed. Professional Engineering Publishing, 2005
• SHIGLEY – Mechanical Engineering Design – ed. Mc Graw Hill, 8th edition – 2006
• J. C. LIGERON - Cours de fiabilité en mécanique – Groupe de travail IMdR M2OS – mise à disposition : 2009
• B. HAUGEN – Probabilitic Approach to Design – ed. Wiley and Sons 1980
• O. DITLEVSEN , H. O. MADSEN – Structural Reliability Methods – ed. Wiley and Sons 1996
• N. RECHO – Rupture des structures par fissuration – ed. Hermès 1995
• H. PROCACIA – P. MORILHAT – Fiabilité des structures des installations industrielles – ed. Eyrolles1996
• A LANNOY – Lifetime management of structures - ESReDA DNV, 2004
• M. LEMAIRE et al - Fiabilité des structures: couplage mécano-fiabiliste statique - ed. Hermes 2005
• J. BAROTH et al. - Fiabilité des ouvrages, sûreté, sécurité, variabilité, maintenance -ed. Eyrolles 2011