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Diffraction

La diffraction est le comportement des ondes lorsqu’elles rencontrent un obstacle ou une ouverture ; le phénomène peut être interprété par la diffusion d’une onde par les points de l'objet. La diffraction se manifeste par le fait qu'après la rencontre d’un objet, la densité de l'onde n’est pas conservée contrairement aux lois de l’optique géométrique.

La diffraction est le résultat de l'interférence des ondes diffusées par chaque point.

La diffraction s’observe avec la lumière, mais également avec le son, les vagues, les neutrons. Elle est une signature de la nature ondulatoire d'un phénomène.

Dans le domaine de l’étude des phénomènes de propagation des ondes, la diffraction intervient systématiquement lorsque l’onde rencontre un objet qui entrave une partie de sa propagation (typiquement le bord d'un mur ou le bord d'un objectif). Elle est ensuite diffractée avec d'autant plus d'intensité que la dimension de l'ouverture qu'elle franchit se rapproche de sa longueur d'onde : une onde type radio sera facilement diffractée par des bâtiments dans une ville, tandis que la diffraction lumineuse y sera imperceptible. Cette dernière commencera en revanche à se faire ressentir dans un objectif où elle imposera d'ailleurs une limite théorique de résolution..

Historique

D'un point de vue historique la diffraction a été découverte avec la lumière en 1665 par Grimaldi. Dans une chambre obscure, il perça des petits trous dans un rideau exposé au soleil et visualisa les irisations sur un écran lorsqu'il mettait des plumes d'oiseaux, des fentes, des cheveux... Phénomène qu'il appela diffraction.

Le phénomène d’interférence se produit lorsque des ondes de même nature (acoustiques, lumineuses, mécaniques) et de fréquences égales ou voisines se superposent lors de leur propagation dans l’espace. Elle fut interprétée comme un phénomène interférentiel qui s'explique grâce au comportement ondulatoire de la lumière par Huygens. Le phénomène d’interférence se produit lorsque des ondes de même nature (acoustiques, lumineuses, mécaniques) et de fréquences égales ou voisines se superposent lors de leur propagation dans l’espace. Thomas Young, s'intéressa lui aussi à la diffraction. Il perça deux fentes très fines et très proches l'une de l'autre et fit passer un faisceau lumineux provenant d'un trou percé à l'aiguille. Ce qu'il observa était tout ce qu'il y a de plus surprenant, puisqu'il vit des franges brillantes et sombres en alternance. Fresnel reprit les expérimentations de Grimaldi sur la diffraction mais au lieu de faire pénétrer la lumière solaire dans sa chambre noire par un petit trou, il utilisa une petite goutte de miel insérée dans un trou. La goutte fait fonction de lentille et donne une minuscule image du soleil qui constitue sa source ponctuelle. Il plaça aussi sur le trajet de la lumière, des petites fentes, des petits trous... Par contre l'écran sur lequel il observe les figures d'interférences et de diffraction est un verre dépoli. Il effectua des mesures précises sur les figures de diffraction grâce à une loupe montée sur un micromètre. Joseph Von Fraunhofer étudia également le phénomène de diffraction. Il fit passer un faisceau de lumière dans une fente et il observa alors sur un écran une raie lumineuse en face de la fente. Cette raie est encadrée par d’autres raies, équidistantes les unes des autres, dont l’intensité est de plus en plus faible au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la raie centrale. Fraunhofer développa alors une théorie autour de la diffraction dans des cas limités : lorsque la source et l’écran sont tous deux à une distance très éloignée de l’obstacle contrairement à la théorie de Fresnel englobant tous les types de diffractions.

Exemples de phénomènes de diffraction

Exemple typique en mécanique des fluides : vagues pénétrant dans un port en contournant une jetée.

Exemples typiques en acoustique :

• trompes des alarmes allongées verticalement (permet la diffusion du son horizontalement) ;
• les portes presque fermées laissent quand même passer un haut niveau sonore : diffraction par l’entrebâillement.

Exemples typiques en optique :

• diffraction par un trou circulaire (tache d'Airy) ;
• diffraction par une fente ;
• diffraction par deux trous ou deux fentes (trous d'Young ou fentes de Young) ;
• limitation de la taille des défauts visibles en microscopie optique
• Réseau de diffraction optique ;
• Limite de diffraction des instruments optiques.

Exemples typiques en cristallographie :

• diffraction de rayons X (DRX) ;
• diffraction de neutrons ;
• diffraction d'électrons en microscopie électronique en transmission (MET) ;
• lignes de Kikuchi en microscopie électronique à balayage (méthode EBSD) ;
• spectrométrie par analyse dispersive en longueur d'onde (WDS wavelength dispersion spectrometry).

Principes de base

La théorie de la diffraction, dans sa forme élémentaire, repose sur le principe de Huygens-Fresnel. Selon ce principe, chaque point atteint par une onde se comporte comme une source secondaire. La figure de diffraction observée résulte de l'interférence des ondes émises par l'ensemble des sources secondaires. Bien que cette théorie ne fasse pas intervenir la nature de l'onde (sonore, lumineuse...).

Le principe de Huygens-Fresnel est une approximation de la solution rigoureuse au problème de diffraction donnée par la résolution de l'équation d'onde. Il est valable dans le cadre de l'approximation paraxiale : c’est-à-dire quand la distance entre l'objet et la figure de diffraction est grande devant à la fois la taille de l'objet et la taille de la figure de diffraction.

Principe de Huygens-Fresnel

Soit une onde monochromatique incidente sur une ouverture. D'après le principe de Huygens-Fresnel, tout élément de surface de l'ouverture peut être considéré comme une source secondaire, se propageant de proche en proche (Huygens) et l'amplitude de l'onde émise par cette source secondaire est proportionnelle à la somme de chacun des éléments de surface de l'onde incidente (Fresnel). Les ondes émises par ces différentes sources interfèrent entre elles pour donner l'onde diffractée.

On trouve parfois une expression corrigée qui tient compte du fait qu'en toute rigueur la source ponctuelle n'est pas isotrope. Comme elle émet dans une direction privilégiée, on ajoute parfois un « facteur d'obliquité ». L'origine de ce facteur d'obliquité est à chercher dans la démonstration du principe de Huygens-Fresnel à partir de l'équation d'onde.

Diffraction à l'infini: Diffraction de Fraunhofer

Exemple de dispositif de diffraction en optique. En fonction de la position de l'écran à droite, on obtient la diffraction de Fresnel (écran proche) ou celle de Fraunhofer (écran lointain)

En optique et électromagnétisme, la diffraction de Fraunhofer, encore nommée diffraction en champ lointain ou approximation de Fraunhofer, est l'observation en champ lointain de la figure diffraction par un objet diffractant. Cette observation peut aussi se faire dans le plan focal image d'une lentille convergente.

Théorie

La source ponctuelle doit être très éloignée de l'ouverture plane pour que les ondes qui parviennent jusqu'à l'objet réfractant soient planes ou quasi planes et l'observation se fait à l'infini. Ces deux conditions sont les conditions de Fraunhofer. De plus, d'après le principe de Huygens-Fresnel, chaque point de l'objet diffractant se comporte comme une source secondaire dont les amplitudes sont toutes égales et sont toutes en phase avec l'onde incidente. Ces conditions sont celle de l'approximation de Fraunhofer.

En pratique, pour que ces conditions soient réalisées, on place en entrée et en sortie des lentilles convergentes afin de faire des observations dans le plan focal image de la lentille de sortie et de modéliser une source à l'infini.

Pour exprimer l'amplitude diffractée en M, on doit calculer la différence de marche (SPM)-(SOM) en choisissant O dans le plan de l'ouverture.

$\delta =OH-OH'={\frac {\overrightarrow {OP}}{OP}}.{\overrightarrow {Um}}-{\frac {\overrightarrow {OP}}{OP}}.{\overrightarrow {Us}}=(\alpha _{S}-\alpha _{M})x+(\beta _{S}-\beta _{M})y$

.

On considère que l'on est dans les conditions de Gauss, ainsi $\alpha _{M}$ et $\alpha _{S}$ vont se simplifier, et en prenant X et Y les coordonnées de M, X' et Y' les coordonnées de la source S et x et y les coordonnées de P, la différence de marche devient donc dans le cas très général

$\delta =-{\frac {xX+yY}{f_{1}'}}-{\frac {xX'+yY'}{f'_{2}}}$

Et ainsi, $\Phi ={\frac {2\pi (\alpha _{S}-\alpha _{M})x}{\lambda }}+{\frac {2\pi (\beta _{S}-\beta _{M})x}{\lambda }}$

On peut ainsi exprimer l'amplitude diffractée en M pour un objet diffractant de transmission t (t valant 0 si l'objet est totalement opaque et 1 s'il est transparent).

$a(M)=K\exp(-jk_{0}(SOM))\iint t(\sigma )\exp \left[2j\pi ({\frac {(\alpha _{S}-\alpha _{M})x}{\lambda }}+{\frac {(\beta _{S}-\beta _{M})x}{\lambda }})\right]d\sigma$

Le calcul de cette intégrale n'est faisable de façon analytique que pour des ouvertures particulièrement simples (Ouverture rectangulaire, fente). Pour les autres ouvertures, il faut recourir aux méthodes numériques (comme pour les ouvertures circulaires).

En pratique, observer à l'infini signifie être assez loin de l'objet diffractant pour que le nombre de Fresnel soit très inférieur à 1 ou, dans le cas de l'optique, se placer au foyer image d'une lentille. Dans ce dernier cas, la distance r doit être remplacée par la distance focale de la lentille, f, dans les formules précédentes.

Applications

Cas de l'ouverture rectangulaire

Pour une ouverture rectangulaire de largeur a et de hauteur b, en prenant l'origine O au centre de symétrie, l'intégrale se simplifie et devient calculable:

$a(M)=K\exp(-jk_{0}(SOM))\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\exp \left[2j\pi ({\frac {(\alpha _{S}-\alpha _{M})x}{\lambda }})\right]dx\int \limits _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\exp \left[2j\pi ({\frac {(\beta _{S}-\beta _{M})y}{\lambda }})\right]dy$

Chacune des intégrales va s'intégrer de manière équivalente en un sinus cardinal. On obtient donc au final:

$a(M)=K\exp(-jk_{0}(SOM))sinc({\frac {\pi a(\alpha _{S}-\alpha _{M})}{\lambda }})sinc({\frac {(\pi b(\beta _{S}-\beta _{M})}{\lambda }})$

D'où l'éclairement en M:

$\mathrm {E} (M)=\mathrm {E} _{0}sinc^{2}({\frac {\pi a(\alpha _{S}-\alpha _{M})}{\lambda }})sinc^{2}({\frac {(\pi b(\beta _{S}-\beta _{M})}{\lambda }})$

Ainsi, l'éclairement s'exprime comme le produit de deux sinus cardinaux au carré. Comme le premier maximum seconcaire vaut 4 % du maximum principal, l'essentiel de l'intensité est contenue dans le pic principal.

La figure ci-contre est une simulation de la figure de diffraction de Fraunhofer obtenue avec une ouverture rectangulaire de côtés a=0,1 mm et b=0,3 mm. On a pris λ=0,5 μm et on s'est placé au foyer image d'une lentille de distance focale f=1 m.

L'éclairement présente différentes caractéristiques:
-Il présente un maximum absolu pour $\alpha _{S}=\alpha _{M}$, c'est-à-dire le lieu de convergencedes rayons qui se propagent en ligne droite à travers l'ouverture: c'est l'image géométrique de la source. On s'attendait bien à obtenir des interférences constructives en ce lieu puisque les rayons lumineux qui forment l'image géométrique ont une différence de marche nulle;
-Il s'annule pour $\alpha _{S}=\alpha _{M}+n{\frac {\lambda _{0}}{a}}$ (n $\in Z^{*}$) ou pour $\beta _{S}=\beta _{M}+m{\frac {\lambda _{0}}{b}}$ (m $\in Z^{*}$), ce qui correspond à des interférences destructives;
-L'intensité passe par des maxima secondaires négligeables devant le maximum principal;
En définitive, si on place en sortie une lentille $L_{2}$ de focale $f_{2}'$, dans le plan focal image l'intensité lumineuse est concentrée dans un rectangle (tâche centrale de diffraction) de largeur ${\frac {2\lambda _{0}f_{2}'}{a}}$ et de hauteur ${\frac {2\lambda _{0}f_{2}'}{b}}$, ces dimensions étant inversement proportionnelles aux dimensios de l'ouverture.

Dans le cas d'une fente fine, c'est-à-dire pour a<<b, la largeur de la tache centrale de diffraction est alors très grande devant la hauteur. La tache de diffraction est donc perpendiculaire à la fente.

L'intensité des maxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendre visibles.

Cas de l'ouverture circulaire

Ouverture circulaire de diamètre d.

Dans le cas circulaire, puisque l'ouverture est invariante par rotation autour de son centre, il est normal de trouver une figure de diffraction formée d'anneaux. En outre, la figure de diffraction est centrée sur l'image géométrique de la source et donc l'essentiel de la lumière est concentré sur le disque central qui est un disque de rayon angulaire θ.

$\theta \leq 1,22{\frac {\lambda _{0}}{d}}$

.

Cette tache est appelée "tache d'Airy". Dans des instruments tels que les télescopes ou les microscopes, les lentilles qui les constituent ont généralement une taille limitée et deviennent des objets diffractant. Il n'est donc pas rare d'observer des tache d'Airy. Ainsi, l'image d'un objet ponctuel n'est pas un point seul comme le voudrait l'optique géométrique mais il est entouré d'anneaux.

Le calcul de l'intensité diffractée par une telle ouverture donne :

$I(\rho )=|E(\rho )|^{2}=4I_{0}\left({\frac {J_{1}(\eta )}{\eta }}\right)^{2}$,

où $\eta ={\frac {\pi \rho d}{\lambda r}}$ et $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Démonstration

On reprend la relation trouvée après avoir effectué l'approximation de Fraunhofer :

$E(M)=K''\iint t(X,Y)\exp \left[-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}(xX+yY)\right]\mathrm {d} X\mathrm {d} Y$.

On effectue un premier changement de variables afin d'utiliser les coordonnées cylindriques

${\begin{cases}X=R\cdot \cos \Phi \\Y=R\cdot \sin \Phi \end{cases}}$ et ${\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}$.

On obtient alors :

$E(\rho ,\theta )=K''\int _{0}^{d/2}\int _{0}^{2\pi }\exp \left[-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}R\cdot \rho \cdot \cos(\Phi +\theta )\right]\mathrm {d} \Phi \cdot R\cdot \mathrm {d} R$.

On simplifie l'expression en observant la complète symétrie axiale du problème. On se limite à chercher ce qu'il se passe pour $\theta =0$ :

$E(\rho ,0)=E(\rho )=K''\int _{0}^{d/2}\int _{0}^{2\pi }\exp \left[-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}R\cdot \rho \cdot \cos(\Phi )\right]\mathrm {d} \Phi \cdot R\cdot \mathrm {d} R$

On procède ensuite à un changement de variable, $u=-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot R$, afin d'introduire la fonction de Bessel $J_{0}(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {\exp } \left[\mathrm {j} .u.\sin \tau \right]\cdot \mathrm {d} \tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {\exp } \left[\mathrm {j} .u.\cos \tau \right]\cdot \mathrm {d} \tau$.

L'expression prend alors la forme :

$E(\rho ,0)=K''\cdot 2\pi \int _{0}^{d/2}J_{0}\left(-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot R\right)\cdot R\cdot \mathrm {d} R$.

Pour exploiter la propriété des fonctions de Bessel selon laquelle $\int _{0}^{v}w\cdot J_{0}(w)\cdot \mathrm {d} w=v\cdot J_{1}(v)$, on pose $w=-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot R$. On peut trouver $v=-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot {\frac {d}{2}}$.

On peut en déduire que :

$E(\rho ,0)=K''\cdot 2\pi \cdot \left({\frac {\lambda r}{2j\pi }}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{\rho ^{2}}}\cdot {\frac {-2j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot {\frac {d}{2}}\cdot J_{1}\left(-{\frac {2j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot {\frac {d}{2}}\right)$.

Ce qui mène à :

$E(\rho ,0)=K''\cdot 2\pi \cdot {\frac {d^{2}}{4}}\cdot {\frac {J_{1}\left(-{\frac {j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot d\right)}{{\frac {-j\pi }{\lambda r}}\cdot \rho \cdot d}}$

Simulation de la figure de diffraction obtenue.

La figure ci-contre est une simulation de la figure de diffraction de Fraunhofer obtenue avec une ouverture circulaire de diamètre d = 0,2 mm. On a pris λ = 0,5 µm et on s'est placé au foyer image d'une lentille de distance focale r = f = 1 m. L'intensité des maxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendre visibles.

Critère de Rayleigh

Pour les instruments d'optique, on reste généralement dans le cas de la diffraction à travers une ouverture circulaire. La taille de l'image obtenue étant inversement proportionnelle à la taille de l'ouverture diffractante, c'est la diffraction qui limite la résolution. Deux objets ponctuels peuvent être séparés si leurs taches d'Airy ne sont pas trop superposées, on définit ainsi le critère de Rayleigh. La répartition de l'intensité lumineuse dans le plan image est donnée par les formules de diffraction de Fraunhofer. Ainsi, deux points objets rapprochés peuvent donner deux images trop proches pour être distinguées si la distance entre ces images est du même ordre de grandeur que la taille de la tache de diffraction. On appelle résolution l'écart minimal entre deux points objets pour qu'on puisse les distinguer avec l'instrument d'optique considéré

Ainsi, deux points objets rapprochés peuvent donner deux images trop proches pour être distinguées si la distance entre ces images est du même ordre de grandeur que la taille de la tache de diffraction. On appelle résolution l'écart minimal entre deux points objets pour qu'on puisse les distinguer avec l'instrument d'optique considéré. Le critère de Rayleigh est très dépendant de la forme de la forme de l'ouverture. On a comparé les angles de séparation limites pour une ouverture circulaire de diamètre D et rectangulaire de largeur a.

Ouverture rectangulaire	Ouverture circulaire
$\alpha _{lim}={\frac {\lambda }{a}}$	$\alpha _{lim}=1,22{\frac {\lambda }{D}}$

Pour une ouverture circulaire, deux points peuvent encore être séparés si le maximum d'une des intensités correspond au minimum de l'autre. Au-delà, les deux points ne sont pas discernables.

Cas du réseau

Un réseau de diffraction est un dispositif optique constitué de motifs régulièrement espacés. L'intensité diffractée par un réseau plan s'exprime comme le produit de l'intensité due à la diffraction d'un motif par une fonction appelée "fonction d'interférence".

$E(i)=D(i)F(i)$

D se calcule comme dans les paragraphes précédents selon la forme de la figure de diffraction.

Voir aussi

Articles connexes

• Diffraction de Fresnel
• Théorie de la diffraction
• Diffraction par une fente

Lien externe

• La théorie de Fraunhofer illustrée

Bibliographie

• John David Jackson (trad. de l'anglais), Électrodynamique classique [« Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]
• José-Philippe Pérez, Optique : Fondements et applications [détail des éditions]
• (en) C. A. Balanis, Antenna theory - Analysis and design, John Wiley & Sons, Inc., 1997 (ISBN 0-471-59268-4)

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