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Résolution de Polynôme

Soit un Polynôme P(x) de degré quelconque, ses racines s'ecriront de telles sortes que : x =(-A+2*cosα*√Δ)/n avec n=degré de P(x) A=>le coefficient de x^(n-1) B =>le coefficient de x^(n-2) Δ=A^2-B*n^2/Σ(n-1)

Prenons n=2 Soit x^2+A*x+B (A et B réels) On a Δ=A^2-4*B et cos α Avec α=+/-30 (toujours pour n=2, peut être facilement démontré ) On a naturellement : x=(-A+/-2*cos60*√Δ)/2 =>x1=(-A+2*cos60*√Δ)/2

 x2=(-A+2*cos60*√Δ)/2

=> x1=(-A+√Δ)/2 => x2=(-A-√Δ)/2

NB : les racines existent dans R

Pour n=3 P(x) : x^3+A*x^2+B*x+C=0 Δ=A^2-3*B cos(3*α)=(-27*M)/(2*Δ^(3/2)) Biensure on a 3 valeurs pour (Arccos(-27*M)/(2*Δ^(3/2)))/3=α+2k*/3π Avec k= 0 ; 1 ou 2 k ε R M= P(-A/3)

On peut raisonnablement se dire si sinα n'est pas compris [-1;1], que deviendrait la formule....

Et bien, utilisons les fonctions hyperboliques comme coshα

Donc pour n=3 x^3+A*x^2+B*x+C=0 Δ=A^2-3*B Cosh(3*α)=(-27*M)/(2*Δ^(3/2)) Biensure on a 1 valeur réelle ( voir Graphe1) pour Arccosh(-27*M)/(2*Δ^(3/2))/3=α Pour rappelle arccosh θ =ln (θ+√(θ^2-1)

Graphe 1 P(x)=x^3+3*x^2-3*x-14 Saidelhasmi (discuter) 19 janvier 2016 à 19:43 (CET)