Tricolorabilité

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Le noeud de trèfle est tricolorable

En théorie des nœuds, le tricolorabilité est la propriété d'un nœud que l'on peut colorer en trois couleurs différentes en respectant les règles suivantes[1] :

  • Le changement de couleur ne peut se faire qu'à un endroit caché de la corde.
  • À un croisement, on doit trouver soit les trois couleurs, soit une seule.

Cette propriété est un invariant de nœuds, c'est à dire qu'un nœud qui est, ou non, tricoloriable, le reste quand on le déforme en respectant les règles topologiques des nœuds. Elle aide donc à déterminer si deux nœuds sont bien distincts ou équivalents.

Cette propriété est reliée au polynôme d'Alexander : le nœud est tricolorable si et seulement si la valeur du polynome d'Alexandre pour est divisible par 3[2]. Ainsi, par exemple, le nœud de trèfle donné en illustration a pour polyôme d'Alexander . qui est bien divisible par 3.

Cette propriété se généralise en p-colorabilité pour tout p premier. Un nœud est p-colorable (coloriable avec p couleurs différentes) si et seulement si est divisible par p[2].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition, p.3045. (ISBN 9781420035223). cité dans (en) Eric W. Weisstein, « Tricolorable », sur MathWorld, consulté le 4 novembre 2020.
  2. a et b (en) Nancy Ho, James Godzik, Jennifer Jones et Thomas W. Mattman, « Invisible Knots and Rainbow Rings: Knots Not Determined by Their Determinants », Mathematics Magazine, vol. 93, no 1,‎ , p. 4–18 (ISSN 0025-570X et 1930-0980, DOI 10.1080/0025570X.2020.1685320, lire en ligne, consulté le 5 novembre 2020)