Treizième problème de Hilbert

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Le treizième problème de Hilbert est l'un des vingt-trois problèmes de Hilbert, posés par David Hilbert en 1900. Il s'agissait d'un problème de nomographie : montrer l'impossibilité, pour l'équation générale du septième degré

x^7 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0,

d'exprimer la solution (vue comme fonction des trois paramètres a, b et c) comme composée d'un nombre fini de fonctions continues de seulement deux variables.

Vladimir Arnold a réfuté cette conjecture en 1957 (à 19 ans) d'après les travaux de son maître Andreï Kolmogorov, en démontrant plus généralement que toutes les fonctions continues peuvent s'exprimer par composition à partir d'un nombre fini de fonctions continues de deux variables. Plus précisément, il existe n(2n + 1) fonctions continues universelles Φij (de [0, 1] dans [0, 1]) telles que pour toute fonction continue f :[0, 1]n → [0, 1], il existe 2n + 1 fonctions continues gj :[0, 1] → [0, 1] telles que f(x_1 , \dots, x_n) = \sum_{j=1}^{2n+1} g_j \left( \sum_{i=1}^n \Phi_{ij} (x_i)\right).

Kolmogorov avait montré, un an auparavant, que des fonctions de 3 variables suffisaient et Arnold a donc amélioré ce 3 en un 2. Arnold a aussi étudié la question analogue pour des fonctions algébriques, en collaboration avec Goro Shimura[1].

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) V. I. Arnold et G. Shimura, « Superposition of algebraic functions », dans Felix E. Browder, Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, AMS, coll. « Proc. Symp. Pure Math. » (no 28),‎ 1976 (ISBN 978-0-821-81428-4), p. 45-46.
  • (en) G. G. Lorentz, Approximation of Functions,‎ 1966, chap. 11