Transfert (théorie des groupes)

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Si G est un groupe (au sens mathématique) et Q un sous-groupe d'indice fini de G, on définit un certain homomorphisme, appelé transfert, allant de G dans l'abélianisé de Q, c'est-à-dire dans le groupe quotient Q/Q', où Q' désigne le groupe dérivé de Q.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient G un groupe (au sens mathématique), Q un sous-groupe de G et T une transversale à gauche de Q dans G. Pour tout élément x de G, nous désignerons par le représentant de x dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à la même classe à gauche modulo Q que x. Nous désignerons par l'élément de Q. Donc, si x = ab avec et , alors et .

Notons pour la suite que si Q' désigne le groupe dérivé de Q, le groupe quotient Q/Q' (abélianisé de Q) est commutatif, donc on peut parler du produit d'une famille finie d'éléments de Q/Q' sans préciser l'ordre des facteurs.

On démontre[1] que si G est un groupe et Q un sous-groupe d'indice fini de G, si Q' désigne le groupe dérivé de Q, il existe un et un seul homomorphisme V de G dans le groupe quotient Q/Q' tel que, pour toute transversale à gauche T de Q dans G et tout élément g de G,

On démontre aussi[2] que l'application définie à partir d'une transversale à droite de Q dans G comme V l'est à partir d'une transversale à gauche, est identique à V.

L'homomorphisme V de G dans Q/Q' est appelé le transfert de G dans Q[3], ou encore[4] le transfert de G vers Q, ou encore le transfert de G vers Q/Q'. On dit aussi « homomorphisme de transfert »[5].

Remarques.
  1. Si Q est commutatif, alors Q' = 1 et le groupe Q/Q' est canoniquement isomorphe à Q. Dans ce cas, on considère que le transfert est un homomorphisme de G dans Q.
  2. Comme le groupe d'arrivée Q/Q' de l'homomorphisme transfert G → Q/Q' est commutatif, le dérivé G' de G est contenu dans le noyau du transfert. Donc le transfert induit un homomorphisme de G/G' dans Q/Q', à travers lequel il se factorise et qu'on appelle[5] lui aussi « homomorphisme de transfert ».
  3. On désigne couramment le transfert par la lettre V, qui est la première lettre du nom allemand du transfert : Verlagerung.

Théorème d'évaluation du transfert[modifier | modifier le code]

Le théorème suivant, dit d'évaluation du transfert[6], facilite souvent l'utilisation du transfert dans les démonstrations :

Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini n de G, V le transfert de G vers Q/Q', T une transversale gauche de Q dans G. Pour tout élément g de G, il existe une partie Tg de T et une famille de nombres naturels tels que

  1. pour tout élément t de Tg,

Le théorème d'évaluation du transfert permet par exemple de démontrer[7] le théorème du complément normal de Burnside.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le transfert fut étudié pour la première fois en 1902, par Issai Schur[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 1999, th. 7.45, p. 194.
  2. Voir par exemple Rotman 1999, exerc. 7.45, p. 199.
  3. Terminologie conforme à (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, , 2e éd. (lire en ligne), p. 61.
  4. (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS Bookstore, coll. « Graduate Studies in Mathematics (en) » (no 2), (lire en ligne), p. 149, signale les deux expressions « transfer map from G to Q/Q' » et « transfer from G to Q », mais considère la seconde comme incorrecte.
  5. a et b Voir Jean-Pierre Serre, Œuvres: Collected Papers, vol. 2, Springer, 2003, p. 176, partiellement consultable sur Google Livres.
  6. Terminologie conforme à Isaacs 2008, p. 153.
  7. Voir par exemple Rotman 1999, th. 7.50, p. 196-197.
  8. (de) I. Schur, « Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen », dans Sitzber. Akad. Wiss. Berlin, 1902, p. 1013-1019 ; rééd. dans I. Schur, Gesammelte Abhandlungen, Springer, 1973, vol. 1, p. 79-85. Références données par J.S. Rose, A Course on Group Theory, rééd. Dover, 1994, p. 234 et 298.