Théorème d'Erdős-Fuchs

Le théorème d'Erdős-Fuchs, en théorie combinatoire des nombres, a pour objet le nombre de façons de représenter un entier naturel n comme somme de deux éléments d'un ensemble donné. Il établit que la moyenne de Cesàro de cette fonction de n ne peut pas tendre « très vite » vers une constante non nulle.

Énoncé

Pour un ensemble fixé A d'entiers naturels, on associe à tout entier n le nombre r(n) de couples d'éléments de A dont n est la somme, et on note

$R(n)={\frac {r(0)+r(1)+\ldots +r(n)}{n}}.$

Si

$R(n)=C+o\left({\frac {1}{n^{3/4}{\sqrt {\ln n}}}}\right),$

alors

$C=0.$

Motivation

Si A est l'ensemble des carrés parfaits, r(0) + … + r(n) est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque x, y ≥ 0, x² + y² ≤ n donc R(n) → π/4 avec une différence en O(n^–2/3) et même, « par des arguments très profonds », en o(n^–2/3). Il est conjecturé que c'est en fait un O(n^{–3/4 + ε}) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, « par des arguments encore plus difficiles » que ce n'est pas un O(n^{–3/4 – ε}). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Fuchs theorem » (voir la liste des auteurs).

Article lié

• Fonction à variation lente

Liens externes

• (en) « Erdős-Fuchs theorem », PlanetMath
• (en) R. C. Vaughan, « On the addition of sequences of integers », J. Number Theory, vol. 4,‎ 1972, p. 1-16 (lire en ligne)