Théorème de van Aubel

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Il existe deux théorèmes de van Aubel. Un décrit certaines relations entre les centres de quatre carrés construits sur les quatre cotés d'un quadrilatère convexe. Ce théorème a été publié par Henricus Hubertus van Aubel en 1878[1].

L'autre est relatif aux rapports de longueur découpées par des céviennes concourantes d'un triangle.

Théorème de van Aubel dans un quadrilatère[modifier | modifier le code]

Configuration d'Aubel

Dans un quadrilatère convexe, on trace, à l'extérieur du quadrilatère 4 carrés s'appuyant sur les côtés de celui-ci. Les segments [PR] et [QS], qui joignent les centres des carrés opposés, sont orthogonaux et de même longueur.

Le quadrilatère PQRS est un pseudo-carré : diagonales orthogonales de même longueur. Le théorème de Thébault permet de dire que le quadrilatère de départ est un parallélogramme si et seulement si le pseudo-carré PQRS est un vrai carré.

Les centres des carrés permettent de former quatre triangles rectangles isocèles à l'extérieur du quadrilatère.

Il existe plusieurs démonstrations[2] possibles de ce théorème.

  • une utilise les nombres complexes et consiste à écrire les affixes des points P, Q, R et S en fonction des affixes a, b, c et d des points A, B, C et D[3] .
  • une autre consiste à travailler sur des rotations vectorielles[4]
  • une troisième enfin consiste à utiliser le théorème de Neuberg et le fait que les points Q et S sont les images des points P et R par une rotation de centre I milieu de [BD] et d'angle droit[5].

La propriété se généralise à tout quadrilatère ABCD, à condition que les carrés ABEF, BCGH, CDJK et DALM soient de même orientation.

Configuration de van Aubel dans plusieurs quadrilatères

Théorème de Van Aubel dans un triangle[modifier | modifier le code]

Un triangle et trois céviennes concourantes

Dans un triangle (ABC), on considère un point P intérieur au triangle et on note A', B' et C' les pieds des céviennes issues de A, B et C et passant par P. Le théorème de van Aubel stipule que[6]

\frac{PA}{PA'}=\frac{B'A}{B'C}+\frac{C'A}{C'B}

Une démonstration possible de ce théorème consiste à remarquer des égalités entre rapports d'aire et rapports de longueur. Ainsi

\frac{PA}{PA'} = \frac{\mathcal A_{PAB}}{\mathcal A_{PA'B}}= \frac{\mathcal A_{PAC}}{\mathcal A_{PA'C}} =  \frac{\mathcal A_{PAB} + \mathcal A_{PAC}}{\mathcal A_{PA'B}+\mathcal A_{PA'C}} = \frac{\mathcal A_{PAB}}{\mathcal A_{PBC}}+ \frac{\mathcal A_{PAC}}{\mathcal A_{PBC}}
\frac{B'A}{B'C} = \frac{\mathcal A_{B'AB}}{\mathcal A_{B'CB}}= \frac{\mathcal A_{B'AP}}{\mathcal A_{B'CP}} =  \frac{\mathcal A_{B'AB} - \mathcal A_{B'AP}}{\mathcal A_{B'CB}-\mathcal A_{B'CP}} = \frac{\mathcal A_{PAB}}{\mathcal A_{PBC}}
\frac{C'A}{C'B} = \frac{\mathcal A_{C'AC}}{\mathcal A_{C'BC}}= \frac{\mathcal A_{C'AP}}{\mathcal A_{C'BP}} =  \frac{\mathcal A_{C'AC} - \mathcal A_{C'AP}}{\mathcal A_{C'BC}-\mathcal A_{C'BP}} = \frac{\mathcal A_{PAC}}{\mathcal A_{PCB}}

Une autre démonstration, utilisant les barycentres, permet de généraliser la propriété à tout point P du plan non situé sur le triangle et tel que les droites (PA), (PB) et (PC) rencontrent (BC), (CA) et (AB) respectivement en A', B' et C' . Le point P est alors le barycentre des points A, B et C affectés de trois réels a, b et c tels que a, b, c, a + b, b + c , c + a et a + b +c sont tous non nuls. Alors B' est barycentre de A et C affectés des coefficients a et c, C' est barycentre de A et B affectés des coefficients a et b et P est barycentre de A et A' affectés des coefficients a et b+c. Les relations entre mesures algébriques et coefficients des barycentres permettent d'écrire que

\frac{\overline{PA}}{\overline{PA'}} = - \frac {b+c}{a}\quad \frac{\overline{B'A}}{\overline{B'C}} = - \frac {c}{a}\quad \frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}} = - \frac {b}{a}

Ce qui conduit à l'égalité :

\frac{\overline{PA}}{\overline{PA'}}=\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}} +\frac{\overline{B'A}}{\overline{B'C}}

Référence[modifier | modifier le code]

  1. H. H. van Aubel, Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygone quelconque, Nouvelle Correspondance Mathématique, 4: 40–44, 1878
  2. (en) Yutaka Nishiyama (en), Beautiful theorems of geometry as van Aubel's theorem, 27 octobre 2010
  3. Sujet du bac S 2005, Exercice de spécialité
  4. P. Debart, carrés autour d'un triangle
  5. Voir par exemple a démonstration pas à pas d'Antonio Gutierez
  6. (en) Eric W. Weisstein, « Van Aubel's Theorem », MathWorld