Théorème de Schur-Horn

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En mathématiques, le théorème de Schur-Horn est un théorème d'algèbre linéaire caractérisant l'ensemble des diagonales possibles, pour une matrice hermitienne de valeurs propres prescrites.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Étant donnés 2N réels

s'il existe une matrice hermitienne d'éléments diagonaux les di et de valeurs propres les λi, alors (théorème de Schur[1],[2])

Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées alors (théorème de Horn[3],[4]) il existe une matrice hermitienne, et même une matrice réelle symétrique, d'éléments diagonaux les di et de valeurs propres les λi.

Reformulation[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Majorisation.

Pour deux vecteurs de ℝN,

il existe une matrice hermitienne (et même alors une matrice réelle symétrique) d'éléments diagonaux les di et de valeurs propres les λi si et seulement si

(lire : « λ majorise d »),

c'est-à-dire — par définition — si, lorsqu'on réordonne de façon décroissante les composantes de ces deux vecteurs, l'égalité et les N – 1 inégalités ci-dessus sont vérifiées.

Or il existe des caractérisations équivalentes de la majorisation :

  • λ majorise d si et seulement s'il existe une matrice bistochastique S telle que d = Sλ.
  • λ majorise d si et seulement s'il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est λ, le dernier est d et le successeur de chaque vecteur x est une combinaison convexe de x et de l'un de ses transposés.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Notons Λ la matrice diagonale des λi.

 : Soit une matrice hermitienne N × N, de valeurs propres les λi et de diagonale les di. Puisque A est normale, il existe une matrice unitaire U telle que A = UΛU* donc autrement dit, en notant si,j = |ui,j|2 et  :

Comme U est unitaire, S est bistochastique, ce qui prouve que λ majorise d.

 : Réciproquement, supposons que λ majorise d. On peut alors passer de λ à d par une suite finie de vecteurs dont chacun est obtenu à partir du précédent en ne modifiant que deux composantes uv, augmentant u d'au plus v – u et diminuant v d'autant. Construisons par récurrence, pour chaque vecteur x de cette suite (en particulier pour le dernier, ce prouvera l'implication), une matrice réelle symétrique de valeurs propres les λi et de diagonale x. Pour le premier vecteur, λ, la matrice Λ convient. Supposons construite une matrice pour le vecteur x et construisons une matrice B pour son successeur y, qui ne diffère de x que par deux coordonnées, par exemple, pour simplifier les notations : y1 = x1δ et y2 = x2 + δ avec δ compris entre 0 et x1x2. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un angle θ entre 0 et π/2 tel que

Soient Rθ la matrice de rotation plane d'angle θ et IN–2 la matrice identité de taille N – 2. La matrice diagonale par blocs est orthogonale, et un calcul immédiat montre que B = PAPT convient.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Issai Schur, « Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie », Sitzungsber. Berl. Math. Ges., vol. 22,‎ , p. 9-20.
  2. (en) Albert W. Marshall, Ingram Olkin et Barry C. Arnold, Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications, Springer, , 2e éd. (ISBN 978-0-387-40087-7, lire en ligne), chap. 9, Theorem B.1, p. 3001re éd. : Marshall et Olkin, Academic Press, 1979 (ISBN 978-0-12-473750-1).
  3. (en) Alfred Horn, « Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix », Amer. J. Math., vol. 76,‎ , p. 620-630 (JSTOR 2372705).
  4. Marshall, Olkin et Arnold 2011, chap. 9, Theorem B.2, p. 302.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Inégalité de Hadamard (en)