Théorème de Rellich

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Le théorème de Rellich est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si est un ouvert borné de classe de régularité , alors de toute suite bornée de on peut extraire une sous-suite convergente dans (on dit que l'injection canonique de dans est compacte).

Remarques[modifier | modifier le code]

On se place dans .

désigne un espace de Sobolev.

désigne un espace Lp avec p = 2.

Le caractère de a un sens particulier : il s'agit de la régularité du bord.

L'inclusion de dans n'est pas, elle, compacte.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve se base sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov qui caractérise les sous-ensembles relativement compacts de .

Applications[modifier | modifier le code]

Rappelons que est un espace de Hilbert lorsque muni du produit hermitien suivant :

(où dénote le gradient, le produit scalaire usuel entre et dénote le complexe conjugé)

Dès lors, comme toute suite faiblement convergente est bornée[1], le théorème de Rellich implique que toute suite faiblement convergente dans possède une sous-suite qui converge fortement dans (autrement dit, qui converge pour la topologie induite par la norme sur ).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Sylvie Benzoni, « Topologie faible », sur Sylvie Benzoni's homepage on Institut Camille Jordan

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]