Domaine lipschitzien

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En mathématiques, un domaine lipschitzien (ou domaine « à frontière lipschitzienne ») est un ouvert d'un espace euclidien dont la frontière est « suffisamment régulière », au sens (fort) où cet ouvert est localement l'hypographe strict d'une fonction lipschitzienne. Le terme vient du nom du mathématicien allemand Rudolf Lipschitz.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit Ω un ouvert de Rn dont la frontière ∂Ω est bornée. Alors Ω est appelé un domaine lipschitzien ou « à frontière lipschitzienne »[1] (en un sens plus faible que celui du résumé introductif[2],[3]) si, pour tout point p ∈ ∂Ω, il existe un rayon r > 0 et une bijection hp : Br(p) → Q tels que

  • hp et hp−1 soient toutes deux lipschitziennes ;
  • hp(∂Ω ∩ Br(p)) = Q0 ;
  • hp(Ω ∩ Br(p)) = Q+ ;

B_r(p) := \{ x \in\R^n\mid\| x - p \| < r \} désigne la boule ouverte de rayon r de centre p, Q désigne la boule unité B1(0), et Q_0:=\{(x_1,\dots,x_n)\in Q\mid x_n= 0 \}~; Q_+:=\{(x_1,\dots,x_n)\in Q\mid x_n> 0 \}.

Applications des domaines lipschitziens[modifier | modifier le code]

Beaucoup de théorèmes de plongement de Sobolev demandent que le domaine d'étude soit un domaine lipschitzien (au sens fort). Par conséquent, beaucoup d'équations aux dérivées partielles et de problèmes variationnels sont définis sur des domaines lipschitziens.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lipschitz domain » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Londres, Imperial College Press,‎ (ISBN 978-1-86094-508-3, lire en ligne), p. 34.
  2. (en) Pierre Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, SIAM,‎ (1re éd. 1985) (lire en ligne), p. 5-10.
  3. (en) « Lipschitz smooth boundary definition », sur MathOverflow.