Règle de d'Alembert

La règle de d'Alembert (ou critère de d'Alembert), doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert. C'est un test de convergence pour une série à termes positifs.

Dans certains cas, elle permet d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels, ou au contraire sa divergence.

Énoncé

Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs. On note $\ell$ et $L$ les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :

$0\leq \ell :=\liminf {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq L:=\limsup {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq +\infty$.

• Si $L<1$, alors la série de terme général u_n converge.
• Si $\ell >1$, alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série diverge grossièrement).

Si $\ell \leq 1\leq L$, on ne peut rien conclure : c'est le cas incertain de la règle de d'Alembert.

Remarques

• La règle de d'Alembert se démontre directement, mais peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.
• Dans le cas incertain $\ell \leq 1\leq L$, on peut essayer la règle de Cauchy, plus précise.
• Lorsque la suite $\left({\tfrac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right)$ admet une limite $\lambda$, l'énoncé se simplifie car $\ell =\lambda =L$. Dans le cas incertain $\lambda =1$, on peut essayer la règle de Raabe-Duhamel.
• La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série ∑u_n des normes. Si L < 1 et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si ℓ > 1, elle est grossièrement divergente.