Nombre hyperharmonique
En mathématiques, le n-ième nombre hyperharmonique d'ordre , noté , est défini par les relations de récurrence :
- , et [1].
En particulier, est le n-ème nombre harmonique.
Les nombres hyperharmoniques ont été étudiés par JH Conway et RK Guy dans leur livre de 1995 The Book of Numbers[2]:258.
Identités impliquant des nombres hyperharmoniques
[modifier | modifier le code]Par définition, les nombres hyperharmoniques vérifient la relation de récurrence
Plutôt que d'utiliser les relations de récurrence, il existe une formule plus efficace pour calculer ces nombres :
Les nombres hyperharmoniques ont une relation étroite avec la combinatoire des permutations. L'identité
se généralise en
où est le nombre de r-Stirling de première espèce[3].
L'expression ci-dessus avec des coefficients binomiaux donne facilement que pour tout ordre fixe , on a l'équivalent[4] :
c'est-à-dire que le quotient des côtés gauche et droit tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.
Une conséquence immédiate est que
pour .
Fonction génératrice et séries infinies
[modifier | modifier le code]La fonction génératrice des nombres hyperharmoniques est
La fonction génératrice exponentielle est beaucoup plus difficile à déduire. On a, pour tout
où 2F2 est une fonction hypergéométrique. Le cas pour les nombres harmoniques est un résultat classique, le résultat général a été prouvé en 2009 par I. Mező et A. Dil[5].
La relation suivante relie les nombres hyperharmoniques à la fonction zêta de Hurwitz[4] :
Nombres hyperharmoniques entiers
[modifier | modifier le code]On sait que les nombres harmoniques ne sont jamais des entiers sauf dans le cas . La même question peut être posée sur l'existence de nombres hyperharmoniques entiers. István Mező a prouvé[6] que si ou , ces nombres ne sont jamais des nombres entiers sauf dans le cas trivial où . Il a supposé que c'était toujours le cas, à savoir que les nombres hyperharmoniques d'ordre ne sont jamais des entiers sauf lorsque . Cette conjecture a été justifiée pour une classe de paramètres par R. Amrane et H. Belbachir[7]. Surtout, ces auteurs ont prouvé que n'est pas entier pour tout et L'extension aux ordres plus élevés a été réalisée par Göral et Sertbaş[8]. Ces auteurs ont également montré que n'est jamais entier lorsque est pair ou une puissance première, ou lorsque est impair.
Un autre résultat est le suivant[9]. Soit le nombre de nombres hyperharmoniques non entiers tels que . Alors, en supposant la conjecture de Cramér,
Il faut noter que le nombre entier de points du réseau dans est , ce qui montre que la plupart des nombres hyperharmoniques ne peuvent pas être entiers.
Le problème a finalement été résolu par DC Sertbaş qui a découvert qu'il existe une infinité d'entiers hyperharmoniques, bien qu'ils soient assez grands. Le plus petit nombre hyperharmonique qui est un entier trouvé jusqu'à présent est[10]
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperharmonic number » (voir la liste des auteurs).
- (en) Ayhan Dil et Khristo N. Boyadzhiev, « Euler sums of hyperharmonic numbers », Journal of Number Theory, vol. 147, , p. 490-498 (DOI 10.1016/j.jnt.2014.07.018)
- Conway et Guy 1996.
- (en) A.T. Benjamin, D. Gaebler et R. Gaebler, « A combinatorial approach to hyperharmonic numbers », Integers, no 3, , p. 1–9
- (en) István Mező et Ayhan Dil, « Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function », Journal of Number Theory, vol. 130, no 2, , p. 360–369 (DOI 10.1016/j.jnt.2009.08.005, hdl 2437/90539)
- (en) István Mező et Ayhan Dil, « Euler-Seidel method for certain combinatorial numbers and a new characterization of Fibonacci sequence », Central European Journal of Mathematics, vol. 7, no 2, , p. 310–321 (DOI 10.2478/s11533-009-0008-5)
- (en) István Mező, « About the non-integer property of the hyperharmonic numbers », Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica, no 50, , p. 13–20
- (en) R.A. Amrane et H. Belbachir, « Non-integerness of class of hyperharmonic numbers », Annales Mathematicae et Informaticae, no 37, , p. 7–11
- (en) Haydar Göral et Sertbaş Doğa Can, « Almost all hyperharmonic numbers are not integers », Journal of Number Theory, vol. 171, no 171, , p. 495–526 (DOI 10.1016/j.jnt.2016.07.023)
- (en) Emre Alkan, Haydar Göral et Sertbaş Doğa Can, « Hyperharmonic numbers can rarely be integers », Integers, no 18,
- (en) Sertbaş Doğa Can, « Hyperharmonic integers exist », Comptes Rendus Mathématique, no 358,
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) John Horton Conway et Richard K. Guy, The book of numbers, Copernicus, (ISBN 978-0-387-97993-9, lire en ligne )