Nombre de Lah

En mathématiques, les nombres de Lah, établis par Ivo Lah (en), permettent d’exprimer les factorielles croissantes en fonction des factorielles décroissantes et réciproquement.

Définitions

Les nombres de Lah (signés) L(n, k) (suite A008297 de l'OEIS) sont définis par :

$x^{\overline {n}}=\sum _{k}(-1)^{n}L(n,k)x^{\underline {k}}$

avec $x^{\overline {n}}=x(x+1)\cdots (x+n-1)$ la factorielle croissante et $x^{\underline {n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)$ la factorielle décroissante, d’où :

$\sum _{k}L(n,k)x^{\underline {k}}=(-1)^{n}x^{\overline {n}}=(-x)^{\underline {n}}$.

On montre (voir section #Expression directe ci-dessous) que L(n, k) a pour signe (-1)ⁿ. De même que pour les nombres de Stirling de première espèce, la notation de Karamata–Knuth désigne la version non signée des nombres de Lah (suite A105278 de l'OEIS) :

$\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor =|L(n,k)|=(-1)^{n}L(n,k)$,

d’où :

$x^{\overline {n}}=\sum _{k}\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor x^{\underline {k}}$.

Propriétés

Relation inverse

$x^{\underline {n}}=\sum _{k}L(n,k)(-x)^{\underline {k}}=\sum _{k}(-1)^{k}L(n,k)x^{\overline {k}}$.

Démonstration

$x^{\underline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\overline {n}}=(-1)^{n}\sum _{k}(-1)^{n}L(n,k)(-x)^{\underline {k}}=\sum _{k}L(n,k)(-x)^{\underline {k}}$.

Formule de récurrence

$L(n+1,k)=-(n+k)L(n,k)-L(n,k-1)$ avec $L(0,k)=\delta _{k}$ (symbole de Kronecker).

Démonstration

Initialisation

Le produit vide x⁰ valant 1 pour tout x, on a :

$\sum _{k}L(0,k)x^{\underline {k}}=(-x)^{\underline {0}}=1=x^{\underline {0}}=\sum _{k}\delta _{k}x^{\underline {k}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

Hérédité

Par changement de variable k→k+1, on a $\sum _{k}L(n,k-1)x^{\underline {k}}=\sum _{k}L(n,k)x^{\underline {k+1}}=\sum _{k}(x-k)L(n,k)x^{\underline {k}}$, d’où :

$\sum _{k}\left[(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\right]x^{\underline {k}}=\sum _{k}\left[(n+k)L(n,k)+(x-k)L(n,k)\right]x^{\underline {k}}=\sum _{k}(x+n)L(n,k)x^{\underline {k}}=(x+n)(-x)^{\underline {n}}=-(-x)^{\underline {n+1}}=-\sum _{k}L(n+1,k)x^{\underline {k}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

Expression directe

Pour n>0, $L(n,k)=(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=(-1)^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}=(-1)^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!=(-1)^{n}{\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!}}$.

Démonstration

Le coefficient binomial ${\tbinom {-1}{-1}}$ (lorsque n=k=0) n’étant pas défini, on commence par décaler à n=1 l’initialisation de la formule de récurrence de L :

$L(1,k)=-kL(0,k)-L(0,k-1)=-k\delta _{k}-\delta _{k-1}=-\delta _{k-1}$.

On pose ensuite $f(n,k)=(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=(-1)^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}$, d’où :

• sachant que ${\tbinom {0}{k}}=\delta _{k}$, on a :

$f(1,k)=(-1)^{1}{\binom {0}{k-1}}{\frac {1!}{k!}}=-\delta _{k-1}{\frac {1}{k!}}=-\delta _{k-1}$ ;

• sachant que ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}$, on a :

${\begin{aligned}f(n+1,k)&=(-1)^{n+1}{\binom {n+1}{k}}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=-(-1)^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right]{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=-(-1)^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k-2}}\right]{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=-\left[(-1)^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {n\,(n-1)!}{(k-1)!}}+(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {k\,n!}{k!}}+(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-2}}{\frac {n!}{(k-1)!}}\right]\\&=-\left[nf(n,k)+kf(n,k)+f(n,k-1)\right]\\&=-(n+k)f(n,k)-f(n,k-1)\end{aligned}}$.

f et L ont donc même initialisation et même hérédité, d’où L=f.

Donc L(n, k) a pour signe (-1)ⁿ, d’où l’expression de $\left\lfloor {\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}}\right\rfloor$.

Involution

$\sum _{i}L(n,i)L(i,k)=\delta _{n,k}$

avec δ_n,k le symbole de Kronecker. La matrice des L(n, k) est donc involutive.

Démonstration

$\sum _{k}\left[\sum _{i}L(n,i)L(i,k)\right]x^{\underline {k}}=\sum _{i}L(n,i)\left[\sum _{k}L(i,k)x^{\underline {k}}\right]=\sum _{i}L(n,i)(-x)^{\underline {i}}=x^{\underline {n}}=\sum _{k}\delta _{n,k}x^{\underline {k}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

Autres propriétés

Les nombres de Lah non signés peuvent s’exprimer en fonction des nombres de Stirling $\left[{\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}}\right]$ (de première espèce non signés) et $\left\{{\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}}\right\}$ (de seconde espèce) :

$\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor =\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}}$.

Démonstration

On a $x^{\overline {n}}=\sum _{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}$ et $x^{n}=\sum _{k}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}x^{\underline {k}}$, d’où :

$\sum _{k}\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor x^{\underline {k}}=x^{\overline {n}}=\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}x^{i}=\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}\left(\sum _{k}{\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}}x^{\underline {k}}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}}\right)x^{\underline {k}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

Ils peuvent également s’exprimer en fonction des polynômes de Bell :

$\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor =B_{n,k}\left(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!\right)$.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Ivo Lah, « A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics », Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses, Lisbonne, Instituto dos Actuários Portugueses, vol. 9,‎ 1954, p. 7–15 (ISSN 0443-4986, résumé).
• (de) Ivo Lah, « Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik », Mitteilungsblatt für Mathematische Statistik, Wurtzbourg, Physica-Verlag, vol. 7,‎ 1955, p. 203–212 (ISSN 0176-5531).
• (en) John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis, Dover Publications, 2002 (1^re éd. 1958) (ISBN 978-0-486-42536-8).

Articles connexes

• Symbole de Pochhammer
• Nombre de Stirling
• Polynôme de Bell