Mesure gaussienne

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En analyse, les mesures gaussiennes sont des mesures qui ont une mesure image avec une densité normale sur $\mathbb {R}$ .

Définition[modifier | modifier le code]

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension finie[modifier | modifier le code]

En dimension 1[modifier | modifier le code]

Une mesure de probabilité de Borel $\gamma$ sur $\mathbb {R}$ est une mesure gaussienne si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

c'est la mesure de Dirac $\gamma :=\delta _{p}$ en un point $p$
elle a la forme suivante

\gamma (B)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{B}\exp \left(-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {d} x,\qquad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )

par rapport à la mesure de Lebesgue.

Le second cas est dit non dégénéré^[1].

En dimension d[modifier | modifier le code]

Une mesure de probabilité de Borel sur $\mathbb {R} ^{d}$ est une mesure gaussienne si pour toute fonctionnelle linéaire $f\in (\mathbb {R} ^{d})^{*}$ , la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$ ^[2].

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension infinie[modifier | modifier le code]

Espace localement convexe[modifier | modifier le code]

Soit $X$ un espace localement convexe et ${\mathcal {E}}(X)$ la tribu généré par tous les sous-ensembles cylindriques de $X$ , telle que toutes les fonctionnelles $f\in X^{*}$ soient mesurables.

Une mesure de probabilité $\gamma$ sur ${\mathcal {E}}(X)$ est gaussienne si pour toute fonctionnelle $f\in X^{*}$ la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$ ^[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Vladimir I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-1470418694), p. 1
↑ Vladimir I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-1470418694), p. 3
↑ Vladimir I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-1470418694), p. 42

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[1] Vladimir I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-1470418694), p. 1

[2] Vladimir I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-1470418694), p. 3

[3] Vladimir I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-1470418694), p. 42

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