Frontière (topologie)
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En topologie, la frontière d'un ensemble est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.
Définition[modifier | modifier le code]
Soit S un sous-ensemble d'un espace topologique (E, T).
Il est possible de définir la frontière de S (souvent notée ∂S ou Fr S) de plusieurs façons équivalentes :
- l'adhérence de S privée de l'intérieur de S :
- l'ensemble des points adhérents à la fois à S et à son complémentaire : ∂S = S ∩ E \ S ;
- l'ensemble de tous les « points frontière » de S, c'est-à-dire des points p de E pour lesquels tout voisinage de p — ou simplement tous ceux d'une base de voisinages[1] — contient au moins un point dans S et un point hors de S.
Propriétés[modifier | modifier le code]
- La frontière d'un ensemble est un fermé (d'après la deuxième définition, comme intersection de deux fermés).
- La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire (toujours d'après la deuxième définition, en utilisant l'involutivité du passage au complémentaire).
- L'adhérence d'un ensemble est l'union de cet ensemble et de sa frontière : S = S ∪ ∂S. En particulier, un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
- L'intérieur d'un ensemble est cet ensemble privé de sa frontière. En particulier, un ensemble est un ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa frontière.
- Les ouverts-fermés sont donc les parties dont la frontière est vide.
- La frontière d'un ouvert (ou d'un fermé) est d'intérieur vide. En effet, si S est ouvert, ∂S = S ∩ (E \ S) donc int(∂S) ⊂ S ∩ int(E \ S) = ∅.
- La frontière d'une union finie est en général strictement incluse dans l'union des frontières, mais si A et B sont d'adhérences disjointes — ou plus généralement, si A ∩ B = B ∩ A = ∅ — alors ∂(A ∪ B) = ∂(A) ∪ ∂(B).
Exemples[modifier | modifier le code]
Dans l'ensemble des nombres réels muni de sa topologie usuelle :
- ∂]0, 5[ = ∂[0,5[ = ∂]0,5] = {0, 5}
- ∂∅ = ∅
- ∂ℚ = ℝ
- ∂(ℚ∩[0, 1]) = [0, 1]
Les deux derniers exemples illustrent le fait que la frontière d'une partie d'intérieur vide est son adhérence.
Frontière d'une frontière[modifier | modifier le code]
Pour tout ensemble S, ∂∂S est incluse dans ∂S, l'égalité étant vérifiée si et seulement si ∂S est d'intérieur vide.
La frontière d'un ensemble étant fermée, ∂∂∂S = ∂∂S pour tout ensemble S. L'opérateur frontière satisfait donc une forme faible d'idempotence.
Note[modifier | modifier le code]
- Dans le cas particulier d'un espace métrique, les boules de centre p et de rayon strictement positif forment une base de voisinages de p.
