Frontière (topologie)

En topologie, la frontière d'un ensemble est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit S un sous-ensemble d'un espace topologique (E, T).

Il est possible de définir la frontière de S (souvent notée ∂S ou Fr S) de plusieurs façons équivalentes :

l'adhérence de S privée de l'intérieur de S : $\partial S={\overline {S}}\setminus {\stackrel {\circ }{S}}~;$
l'ensemble des points adhérents à la fois à S et à son complémentaire : $\partial S={\overline {S}}\cap {\overline {E\setminus S}}~;$
l'ensemble de tous les « points frontières » de S, c'est-à-dire des points p de E pour lesquels tout voisinage de p — ou simplement tous ceux d'une base de voisinages^[1] — contient au moins un point dans S et un point hors de S.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La frontière d'un ensemble est un fermé (d'après la deuxième définition, comme intersection de deux fermés).
La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire (toujours d'après la deuxième définition, en utilisant l'involutivité du passage au complémentaire).
L'adhérence d'un ensemble est la réunion de cet ensemble et de sa frontière : S = S ∪ ∂S. En particulier, un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
L'intérieur d'un ensemble est cet ensemble privé de sa frontière. En particulier, un ensemble est un ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa frontière.
Les ouverts-fermés sont donc les parties dont la frontière est vide.
La frontière d'un ouvert (ou d'un fermé) est d'intérieur vide. En effet, si S est ouvert, ∂S = S ∩ (E \ S) donc int(∂S) ⊂ S ∩ int(E \ S) = ∅.
La frontière d'une union finie est en général strictement incluse dans la réunion des frontières, mais si A et B sont d'adhérences disjointes — ou plus généralement, si A ∩ B = B ∩ A = ∅ — alors ∂(A ∪ B) = ∂(A) ∪ ∂(B).

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans l'ensemble des nombres réels muni de sa topologie usuelle :

$\partial \left]0,5\right[=\partial \left[0,5\right[=\partial \left]0,5\right]=\partial [0,5]=\{0,5\}$ ;
$\partial \varnothing =\varnothing$ ;
$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$ ;
$\partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]$ .