Groupe de Grothendieck (K-théorie)

Le groupe de Grothendieck est une construction utilisée en théorie des catégories et en K-théorie algébrique, qui permet d'associer à toute catégorie triangulée ou de Waldhausen (en) un groupe abélien contenant des informations sur la catégorie concernée, parfois appelé « groupe de K-théorie » voire « K-théorie » de la catégorie en question. Le groupe de Grothendieck a été introduit pour la démonstration du théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch et porte le nom du mathématicien Alexander Grothendieck.

Définition

Soit C une petite sous-catégorie additive (ou exacte, ou triangulée) d'une catégorie abélienne A. On note Ob(C) les objets de C, que l'on considère à isomorphisme près. On considère le groupe abélien libre sur ces classes d'isomorphisme, que l'on note F(C), dont tout élément peut s'écrire comme somme formelle

$\sum n_{X}[X]$

avec [X] la classe d'isomorphisme d'un objet X de C et n_X un entier, qui est presque toujours nul. Alors pour toute suite courte de C

$(E)\qquad 0\to X\to Y\to Z\to 0$

on associe un élément de F(C) de la forme

$Q(E)=[X]-[Y]+[Z]$.

On note H(C) le sous-groupe de F(C) engendré par les suites exactes courtes (ou les triangles distingués, si on considère une catégorie triangulée). Le groupe de Grothendieck est le groupe quotient

$K(C)=F(C)/H(C)$

parfois noté $\mathrm {Gr} (C)$.

C'est-à-dire que pour toute suite exacte de la forme (E) on a dans ce groupe la relation [X] - [Y] + [Z] = 0. Cela donne directement une expression du groupe de Grothendieck en termes de générateurs (les éléments [X] pour tout objet X) et relations.

Universalité

Si la catégorie C est additive, elle admet les sommes finies et la suite

$0\to X\to X\oplus Y\to Y\to 0$

est exacte, si bien que l'on a la « formule d'addition » $[A\oplus B]=[A]+[B]$. Dans ce cas l'application $k:\mathrm {Ob} (C)\to K(C)$ est additive, et vérifie la propriété universelle suivante : pour toute application additive $\phi$ de Ob(C) dans un groupe G, il existe un unique homomorphisme $\xi :K(C)\to G$ tel que $\phi =\xi \circ k$.

Voir aussi

Sources et bibliographie

• Pierre Berthelot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie : Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, dans SGA 6 (1971)
• Armand Borel et Jean-Pierre Serre, « Le théorème de Riemann–Roch », Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 86,‎ 1958, p. 97-136 (ISSN 0037-9484, MR 0116022)